Примеры тем для базовых проектов

1. Изучение движения баскетбольного мяча

Проект является развитием задания, представленного в предыдущем разделе.

В спортивном зале баскетболист бросает мяч в корзину. Расстояние от баскетболиста до корзины по горизонтали равно L, кольцо расположено на высоте H от пола. В момент броска мяч находится на высоте h < H. Начальная скорость мяча равна v₀. Введите размеры мяча и кольца и рассмотрите процессы упругого отскока мяча от кольца и щита.

Попробуйте учесть сопротивления воздуха на стадии полета мяча, неупругость удара и влияние вращения мяча на результат соударения мяча с кольцом и щитом.

Попробуйте оптимизировать два параметра – начальную скорость мяча v₀ и угол броска, при которых становится более эффективным попадание в кольцо, т.е. допустим наибольший разброс этих параметров.

Отобразите динамику движения мяча на экране.

2. Стрельба из сверхдальнобойной пушки

Артиллеристами в 1914 г. был замечен поразительный факт. При стрельбе из дальнобойных орудий под большими углами (более 45) дальность стрельбы вдруг резко возрастала. Это связано с тем, что снаряд сначала вылетал за пределы плотных слоев атмосферы в тропосферу, где сопротивление воздуха было незначительно. В 1914 г. немцы использовали это при обстреле Парижа. В книге Перельмана "Занимательная физика" в статье "Сверхдальняя стрельба" описывается этот факт.

Необходимо построить модель, описывающую полет снаряда при сверхдальней стрельбе из пушки по Парижу в 1914 г.

Исходные данные для построения модели:

• масса снаряда: 120 кг;

• калибр снаряда: 21 см;

• угол конуса снаряда: 2 = 60;

• начальная скорость: 2000 м/сек;

• угол стрельбы относительно горизонта:  = 52;

• время полета снаряда: 210 сек;

• дальность стрельбы при угле 52: 115 км;

• высота полета: 40 км;

• сила сопротивление воздуха: F_c = kSv²sin²;

где k – эмпирическая константа, S - площадь сечения снаряда, v - скорость снаряда.

• зависимость плотности воздуха  от высоты y без учета влияния температуры:  = ₀exp(-y),

где  = 0.125 1/км, ₀ = 1.18 кг/м³.

Необходимо подобрать константу k так, чтобы, снаряд пролетел расстояние L = 115 км от пушки до Парижа.

Как зависит дальность стрельбы этой пушки от угла стрельбы?

Изучите влияние ветра на движение снаряда. При этом надо иметь в виду, что в реальной атмосфере с высотой ветер меняется как по величине (которая может составлять десятки метров в секунду), так и по направлению.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли примем равным g₀ = 9.81 м/c². На высоте y в соответствии с законом всемирного тяготения g = g₀ (1+y/R)^-2 , где R = 6400 км – радиус Земли. Для высоты y = 100 км различие между g и g₀ составляет около 3%. Поскольку изменение g с высотой описывается достаточно простой формулой, учет зависимость g(y) в численном расчете не представляет проблем.

Задачу можно решать либо в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, либо в невращающейся системе отсчета.

Во вращающейся системе отсчета проще учитывать силу сопротивления воздуха, поскольку атмосфера вращается вместе с Землей. Однако задача усложняется тем, что эта система отсчета является неинерциальной, и в ней появляются силы инерции – центробежная сила и сила Кориолиса.

Оценим влияние сил инерции на ускорение снаряда. Для угловой скорости вращения Земли имеем: w = 2/(243600) = 7.2710^-5 рад/с. Центробежное ускорение перпендикулярно оси вращения Земли, и его величина дается формулой: a_цс = w²Rcos, где  - широта. Для  = 50 получаем a_цс = 0.022 м/c².

Ускорение Кориолиса перпендикулярно вектору скорости снаряда и земной оси и численно равно a_кор = 2 wvsin, где  - угол между вектором скорости снаряда и земной осью. Для скорости снаряда v = 2000 м/сек получаем a_кор = 0.29sin м/c². Таким образом, пренебрежение силой Кориолиса в данном случае может дать погрешность до 3% в определении ускорения.

Значительно меньшую погрешность для рассматриваемой задачи дает пренебрежение искривлением земной поверхности. Связанная с этим относительная погрешность определения высоты будет порядка (L/R)², где L – дальность полета снаряда. Принимая L = 115 км, получаем (L/R)²  0.03%.

В невращающейся системе отсчета сил инерции нет, и на снаряд действуют только две силы – сила притяжения к Земле и сила сопротивления со стороны движущегося воздуха. Если не учитывать сопротивление воздуха, то в этой системе отсчета снаряд будет двигаться по эллипсу. Для работы в этой системе отсчета необходимо пересчитать начальную скорость снаряда, а также скорость воздушных масс, и соответственно учесть, смещение земной поверхности при возвращении снаряда на нее. Преимуществом работы в этой системе отсчета является то, что написанная программа позволяет рассчитывать баллистические траектории движения ракет.