23. Движение маятника в магнитном поле

Маленький шарик массы m, имеющий заряд q, подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины L. Этот математический маятник помещен в сильное однородное магнитное поле, индукция которого равна B₀ и направлена вертикально вверх (вдоль оси z).

1. Рассчитать и изобразить траекторию движения шарика, задав начальные координаты шарика (x,y,z) и проекции его начальной скорости (v_x,v_y,v_z).

2. Проверить сохранение механической энергии

3. Учесть силу сопротивления воздуха, действующую на шарик (см. пример выполнения задания “Движение тела в поле тяжести Земли”).

Явления, связанные с вращением Земли, не учитывать. Задачу решить со следующими данными: L = 1 м, m = 1 г, B₀ = 3 Тл, g = 9.81 м/c².

Данная задача обсуждается в статье Д.А. Купцова и М.М. Цыпина “Маятник в магнитном поле и принцип суперпозиции”, Квант №7 (1994) 31-35.

24. Исследование явления резонанса

Рассмотрите гармонический осциллятор в виде маленького шарика массы m, прикрепленного к пружине жесткости k и совершающего колебания вдоль оси x.

1. Смоделируйте движение осциллятора, совершающего колебания под действием вынуждающей силы F(t) = F₀sin(t) с учетом силы трения F_тр = -v, где v - скорость шарика.

2. Проведите расчеты для собственных и вынужденных колебаний с разными шагами по времени. Сравните рассчитанные зависимости с точными аналитическими.

3. Постройте резонансную кривую - зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты (в единицах w₀ = (k/m)^1/2). Найдите время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в два раза. Зависит ли это время от начальной амплитуды?

25. Шарик на пружинках

Смоделируйте трехмерное движение маленького шарика массы m, прикрепленного к концам нескольких пружин, имеющих разные коэффициенты жесткости. Другие концы пружин закреплены в фиксированных точках пространства. При проведении расчетов контролируйте точность сохранения энергии системы. Предусмотрите возможность учета сил сопротивления среды.

26. Взаимодействие двух маятников

Два математических маятника одинаковой длины подвешены к одной и той же горизонтальной балке на некотором расстоянии друг от друга. Точечные массы на концах маятников соединены между собой пружинкой. Смоделируйте колебания в этой системе.

27. Волны в упругой среде

Простейшая модель упругой среды, по которой могут распространяться продольные и поперечные волны - линейная последовательность материальных точек массы m, соединенных упругими стерженьками. Эти стерженьки могут испытывать растяжение-сжатие с модулем жесткости Е, а также поперечные смещения с модулем сдвига G.

Разработайте компьютерную модель распространения продольных и поперечных волн в такой системе и с ее помощью:

(а) оцените модули E и G для железа, считая, что расстояние между атомами равно 1 ангстрему, относительная атомная масса железа равна 55.84, скорость продольных волн 5850 м/с, а скорость поперечных волн 3230 м/c.

(б) исследуйте, какие поперечные колебания будут распространяться в такой системе, если в начальный момент времени

1. скорости всех масс раны нулю и одна из масс имеет начальное смещение;

2. все массы имеют нулевое смещение, и одна из масс имеет начальную ненулевую скорость.