Основные законы алгебры логики

Закон	для логического ИЛИ	для логического И
коммутативность	AB=BA	AB=BA
ассоциативность	A(BC)=ABC	A(BC)=ABC
дистрибутивность	A(BC) = (AB)(AC)	A(BC)=(AB)(AC)
двойственность	(AB) = AB	(AB) = AB
идемпотентность	AA = A	AA = A
поглощение	A(AB) = A	A(AB) = A
cклеивание	(AB)(AB) = B	(AB)(AB) = B
	A(AB) = AB
операция переменной с ее инверсией	AA = 1	AA = 0
операция с константами	A1 = 1, A0 = A	A1 = A, A0 = 0
отрицание констант	1 = 0, 0 = 1
двойное отрицание	(A)=A

Пример 1: упростить формулу (AB)(AB)

Решение:

(AB)(AB) = (AB)(AB) = ABAB =

двойственность ассоциативность коммутативность

AABB = 0B = 0 .

операция с инверсией, идемпотентность, операция с константой

Пример 2: упростить формулу A(BC)(ABC)

Решение:

A(BC)(ABC) = A(BC)(ABC) =

двойственность двойное отрицание

ABC(ABC) = AB(C(ABC)) =

ассоциативность коммутативность

AB(C(CAB)) = AB(C(C(AB))) =ABC .

ассоциативность поглощение

Пример 3: Составить логические выражения, истинные только при выполнении указанных условий

а) x принадлежит отрезку [a,b].

Ответ: (x >= a)  (x <= b)

б) x лежит вне отрезка [a,b].

Ответ: (x < a)  (x > b)

в) x лежит выше прямой y = -x во второй и четвертой четвертях прямоугольной системы координат.

Ответ: (y > -x)  (x < 0  y < 0)

Пример 4: Для какого числа X истинно высказывание

(X>2) → (X>5) ?

Решение:

Составим таблицу истинности (табл. 15) для (X>2) → (X>5)

Проанализируем те строки, где импликация истинна. При этом значения аргументов зададим неравенствами (табл. 16).

Таблица 15

Таблица истинности примера 4

X>2	X>5	(X>2) → (X>5)
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Таблица 16

Таблица решения примера 4

Аргументы		Функция	Общая область аргументов
X<=2	X<=5	1	X<=2
X<=2	X>5	1	–
–	–	–	–
X>2	X>5	1	X>5

Таким образом, область значений X, при которых импликация истинна, будет: (X <= 2)  (X > 5).