2.3. Построение изокванты

Изокванта или линия равного уровня - это множество точек на плоскости К, L, для которых F(K,L)=Х₀=const. Для мультипликативной производственной функции изокванта имеет вид:

A*K ^α1*L ^α2 = Хо = const или К ^α1 = (Х₀/ A)*L ^α2 = B/L ^α2 (8)

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат. В нашем случае Х₀ = X(t₁₅) = const, т.е. выше указанная формула примет вид:

(9)

Для нахождения K(L) используется следующая формула:

(10)

Для нахождения зависимости K=f(L) при X(t)=const необходимо использовать стандартные функции ТР "Excel" и при вычислениях учитывать необходимость выдерживать условие lnK(L)>0.

Задаем значения L: искусственно, т. е. берем, например, 1 чисел от 0,5 до 4,1 с шагом 0,2. Построим три изокванты. Для данных значений L вычисляем показатели K₁, К₂ и К₃ через функцию ТР "Excel" "EXP". Результаты вычислений приведены в таблице 7.

Таблица 7

Построение изокванты

	K1	K2	K3
0,5	96289,92	139400,3	170570,7
0,7	77859,23	122717,9	137922,1
0,9	66434,28	96177,85	117683,6
1,1	58527,82	84731,56	103677,9
1,3	52668,53	76248,97	93298,55
1,5	48118,12	69661,28	85237,83
1,7	444461,6	64367,7	78760,59
1,9	41446,12	60002,13	73418,85
2,1	38907,92	56327,54	68922,61
2,3	36735,91	53183,1	65075,05
2,5	34851,79	50455,43	61737,47
2,7	33198,62	48062,12	58809
2,9	31733,93	45941,66	56214,41
3,1	30425,32	44047,17	53896,29
3,3	29247,6	42342,16	51810,04

Значение изокванты заключается в том, что при уменьшении трудовых ресурсов для достижения постоянного выпуска продукции необходимо увеличить основные производственные фонды и, наоборот, при уменьшении производственных фондов - увеличить трудовые ресурсы. Иными словами можно сказать, что ресурсы К и L взаимозаменяемы. Уменьшение числа занятых можно компенсировать большей фондовооруженностью. Следовательно, изокванта применяется для определения наиболее оптимального способа использования трудовых ресурсов и ОПФ при одном и том же валовом выпуске.

По данным таблицы 7 строим изокванту с помощью "Мастера диаграмм" в ТР "Excel". График приведен в приложении 6.

2.4. Вычисление экономических показателей

Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности и рассчитывается по формуле:

(11)

что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать лучшей фондовооруженностью. Результаты вычислений отображены в таблице 8.

Таблица 8

Норма замещения труда ОПФ

t	Sk(ti)
1	4,324848
2	4,757915
3	5,364019
4	6,054448
5	6,824093
6	5,245787
7	4,036326
8	13,1856
9	2,387599
10	10,52906
11	2,573884
12	11,34084
13	2,668489
14	7,947402
15	7,902937

Из таблицы 9 видно, что при t = 8 норма замещения труда самая большая (S_K = 13,18), следовательно, в этом случае производственными фондами можно компенсировать недостаток труда, а при t = 9 норма замещения труда самая малая (S_K = 2,38), значит, недостатка труда не наблюдается и компенсировать его фондами нет необходимости.

Следующим этапом является вычисление значения величины A(t₁) по формуле:

(12)

После соответствующих вычислений находим, что коэффициент A(t₁) = 1,204 и примерно равен коэффициенту нейтрального научно - технического прогресса А (А = 1,2). В свою очередь, А - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Т.к. коэффициент A(t₁) А, то он получает подобную интерпретацию.

При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов).

Для того чтобы определить за исследуемый период рост выпуска, фондов и численности занятых необходимо обозначить выпуск и ресурсы в относительных (соизмеримых) единицах измерения и рассчитать следующие коэффициенты:

• рост выпуска = 2,27

• рост фондов = 2,05

• рост численности занятых = 2,01

Эти коэффициенты показывают во сколько раз увеличились выпуск, фонды и численность занятых к 15 периоду по сравнению с первым (базисным) периодом. Можно сделать вывод, что валовой выпуск, ОПФ и число занятых за исследуемый период увеличились приблизительно в 2 раза.

Найдем теперь эффективность экономики, представленной производственной функцией, в которой выпуск и ресурсы обозначены в относительных единицах измерения через X, К, L. Эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности:

1. частная эффективность ресурсов по фондам

2. частная эффективность ресурсов по труду

Итак, получили что Е_К = 1,1, a E_L = 1,13. Эти показатели свидетельствуют, что вводимые фонды неэффективны (Е_K < 1) и трудовые ресурсы эффективны (E_L > 1).

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаковы безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как производственная функция выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т. е. среднегеометрическое значение.

Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:

,

в котором роль весов выполняют относительные эластичности:

1) по фондам

2) по труду β = 1 – α,

Получили: α = 0,61, β = 0,38.

То есть частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в производственную функцию соответствующие ресурсы.

В данном случае обобщенный показатель экономической эффективности равен:

Получили Е = 0.

Этот показатель позволяет определить, во сколько раз увеличилось производство за счет повышения эффективности использования ресурсов. Здесь ресурсы, как по отдельности, так и в совокупности используются эффективно.

Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) равен:

После необходимых расчетов получили, что М = 2,03. Данный коэффициент показывает, во сколько раз возросло производство за счет увеличения объема используемых ресурсов.

Таким образом, общий рост валового выпуска с t₁ по t₁₅ произошел за счет роста масштабов производства в 2,03 раза и за счет повышения эффективности производства в 0,99 раза.

В целом относительный рост выпуска продукции равен:

2,02.

2.5. Учет нестационарности параметров производственной функции и явление мультиколлинеарности между факторами

Параметры ПФКД объективно зависят от времени, т. е. они нестационарны. Одним из способов учета изменения параметров ПФ во времени является введение времени как самостоятельной переменной через показатель НТП , где p > 0, характеризует темп прироста валовой продукции под влиянием НТП. Таким образом, получается динамическая ПФ вида:

(13)

Для определения параметров ПФКД, представленной в виде (13), необходимо произвести логарифмирование выражения (13):

(14)

lnX(t_i) = lnA + α₁* lnK(t_i) + α₂* lnL(t_i) (3)

Используя стандартную функцию "LN" табличного редактора (ТР) "Excel", находим значения величин lnX(t_i), lnK(t_i), lnL(t_i) (см. табл. 10). Причем значения lnK(t_i), lnL(t_i) берем такие же, как и в таблице 2, а lnX(t_i) находим по новым значениям X’(t), которые представлены в таблице 9.

Таблица 9

X’(t)
1551,50
1902,51
2346,95
2918,50
3585,94
3430,80
3256,25
3081,30
2948,01
3560,16
4303,68
5254,82
6448,82
9441,36
13905,90

Таблица 10

Значения величин lnK(t_i), lnL(t_i), lnX(t_i)

t	LnK(ti)	LnL(ti)	LnX(ti)
1	6,79	4,89	7,35
2	6,93	4,91	7,55
3	7,07	4,93	7,76
4	7,21	4,95	7,98
5	7,35	4,97	8,18
6	7,12	5,01	8,14
7	6,90	5,05	8,09
8	6,68	5,09	8,03
9	6,46	5,13	7,99
10	6,55	5,18	8,18
11	6,65	5,24	8,37
12	6,74	5,30	8,57
13	6,84	5,39	8,77
14	7,17	5,49	9,15
15	7,51	5,59	9,54

Вычисляем параметры lnA, p, α₁, α₂ используя также стандартную подпрограмму "АНАЛИЗ ДАННЫХ - РЕГРЕССИЯ" ТР "Excel". В таблице 11 представлен результат вычисления уравнения линейной регрессии.

Таблица 11

LnA	0,39
p	0,10
α1	0,74
α2	0,37

α₁, α₂, t, ln(A) - неизвестные величины в уравнении линейной регрессии. Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

lnX(t_i) = 0,39 + 0,1*t + 0,74*lnK(t_i) + 0,37* lnL(t_i)

Можно сделать вывод, что при введении времени как самостоятельной переменной через показатель НТП, коэффициенты эластичности не изменились.

Затем, применив МНК, находим параметы по известным значениям

Однако, как показывают исследования, величины K(t) и Ln(t) не являются экзогенно заданными независимыми величинами. В реально существующей экономичесой системе между этими величинами имеется взаимосвязь, определяемая различными причинами, в том числе и объемом производства. Данная стохастическая взаимосвязь между величинами K(t) и L(t) называется мультиколлинеарностью между факториальными переменными.

Мультиколлинеарность приводит к тому, что трудно разграничить влияние той или иной объясняющей переменной на результативный признак, в данном случае на X(t). Это, в свою очередь, ведет к большим погрешностям при определении параметров производственной функции.

В случае с ПФКД решение вытекает из свойств самой функции, в частности из того обстоятельства, что основные параметры ПФКД являются коэффициентами эластичности. Следовательно, для определения параметров а1 и а2 можно использовать ту предпосылку, что увеличение на 1% фактора K(t) приведет к росту X(t) на а1%, а увеличение на 1% фактора L(t) вызовет рост X(t) на а2%. Таким образом, при увеличении факторов на величины , полное уравнение процентного роста для , близких к пределу, будет иметь вид:

(15)

При исследованиях с использованием ПФКД вида (15) обычно используются динамические ряды, и для этого случая процентное соотношение можно записать таким образом:

B = a1*C + a2*D + p (16)

Где (17)

При первом приближении можно задаться значением t = 1 год и найти значения B, C и D для различных моментов времени t. Затем, испльзуя МНК, определить величины а1, а2 и p. Таким образом, может быть решена проблема мультиколлинеарности, но и в этом случае желательно принимать меры по устранению необоснованных колебаний величин B, C и D во времени, в частности путем их сглаживания. Однако, если на изменение результирующего признака X(t) на исследуемом промежутке времени оказали существенное влияние не включенные в ПФКД факторы, то проблема точности определения параметров ПФКД остается, и ее решение требует других подходов.