2. Алгоритм вычисления показателей

2.1. Определение параметров математической модели

Как уже упоминалось выше, в качестве изучаемой системы берётся экономика условного объекта. Входными показателями объекта считаются:

K(t_i) - величина основных производственных фондов (млрд. руб.);

L(t_i) - величина используемых трудовых ресурсов (тыс. чел.).

А в качестве выходного показателя принимается X(t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.) (см. таблица 1).

Таблица 1

Исходные данные

t	Kt	Lt	Xt
1	888	132,8	1325,65
2	1021	135,5	1466,75
3	1174	138,2	1632,62
4	1351	140,9	1831,86
5	1553	143,7	2030,89
6	1242	149,5	1774,80
7	994	155,5	1538,66
8	795	161,7	1329,93
9	636	168,2	1162,23
10	700	178,3	1271,55
11	770	188,9	1392,53
12	847	200,3	1540,36
13	931	220,3	1717,00
14	1304	242,3	2266,78
15	1826	266,6	3010,63

В приложениях 1, 2, 3 содержатся графики изменения входных и выходных показателей. При увеличении фондов во времени и незначительном увеличении трудовых ресурсов на том же промежутке времени наблюдается увеличение валового выпуска. При резком сокращении основных фондов на промежутке t = 5 ÷ 9 и плановом увеличении числа занятых на том же промежутке, наблюдается резкое снижение валового выпуска. Таким образом, при постоянном увеличении трудовых ресурсов и неравномерном использовании основных фондов, валовой выпуск будет более тяготеть к неравномерностям использования фондов (т.е. изменение валового выпуска повторяет изменение ОПФ во времени).

В качестве математической модели принимается производственная функция Кобба - Дугласа, вида:

Необходимо определить параметры А, α₁, α₂. Для этой цели проводим логарифмирование данной функции и получаем линейное уравнение регрессии вида:

lnX(t_i) = lnA + α₁* lnK(t_i) + α₂* lnL(t_i) (3)

Используя стандартную функцию "LN" табличного редактора (ТР) "Excel", находим значения величин lnX(t_i), lnK(t_i), lnL(t_i). Для того чтобы определить границы, в пределах которых изменяются параметры, необходимо найти диапазон изменения входных показателей, т.е. уравнение регрессии справедливо только в пределах определенных минимальных и максимальных значений переменных (см. табл. 2).

Таблица 2

Значения величин lnK(t_i), lnL(t_i), lnX(t_i)

t	lnKt	lnLt	lnXt
1	6,79	4,89	7,19
2	6,93	4,91	7,29
3	7,07	4,93	7,40
4	7,21	4,95	7,51
5	7,35	4,97	7,62
6	7,12	5,01	7,48
7	6,90	5,05	7,34
8	6,68	5,09	7,19
9	6,46	5,13	7,06
10	6,55	5,18	7,15
11	6,65	5,24	7,24
12	6,74	5,30	7,34
13	6,84	5,39	7,45
14	7,17	5,49	7,73
15	7,51	5,59	8,01

lnKt			lnLt
Min	Max		Min	Max
6,46	7,51		4,89	5,59

В приложении 4 представлены графики изменения этих величин. Как можно видеть на графике, lnK(t_i), lnL(t_i), lnX(t_i) фактически мало меняются, следовательно, точность определения модели зависит от внешних воздействий. Таким образом, логарифм дает возможность построения линейной модели, а с другой стороны вносит трудность в определение самих параметров.

Для построения статистической модели, характеризующей значимость и точность найденного уравнения регрессии, используем табличный редактор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал Y» вводим данные по lnX(t_i), включая название реквизита. В поле «Входной интервал Х» вводим данные по lnK(t_i), lnL(t_i). При этом вводимые данные должны находиться в соседних столбцах. Затем устанавливаем флажки в окнах «Метки» и «Уровень надежности». Установим переключатель «Новый рабочий лист» и поставим флажки в окошках «Остатки», «График остатков». После всех вышеперечисленных действий нажимаем кнопку «ОК» в диалоговом окне «Регрессия». Далее производим форматирование полученных результатов расчета коэффициентов уравнения регрессии и статистических характеристик. Получаем следующие таблицы:

Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	1,00
R-квадрат	1,00
Нормированный R-квадрат	1,00
Стандартная ошибка	0,00
Наблюдения	15

Таблица № 3

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	0,86	0,429771389	41544,10	9,06724E-24
Остаток	12	0,00	1,03449E-05
Итого	14	0,86

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	0,18	0,03	6,93	1,5836E-05	0,13	0,24	0,13	0,24
lnKt	0,71	0,00	247,49	1,27429E-23	0,70	0,72	0,70	0,72
lnLt	0,45	0,00	113,89	1,40661E-19	0,44	0,46	0,44	0,46

Таблица № 4

Остатки

Наблюдение	Предсказанное lnXt	Остатки
1	7,19	0,0034
2	7,29	-0,0035
3	7,40	-0,0042
4	7,51	0,0027
5	7,62	-0,0018
6	7,48	0,0042
7	7,34	0,0018
8	7,20	-0,0031
9	7,06	0,0027
10	7,15	-0,0015
11	7,24	-0,0041
12	7,34	0,0030
13	7,45	0,0019
14	7,73	-0,0019
15	8,01	0,0004

Вычисляем параметры lnA, α₁, α₂ используя также стандартную подпрограмму "АНАЛИЗ ДАННЫХ - РЕГРЕССИЯ" ТР "Excel". В таблице 5 представлен результат вычисления уравнения линейной регрессии.

Таблица 5

Y-пересечение(LnA)	0,18
lnKt (α1)	0,71
lnLt (α2)	0,45

α₁, α₂, ln(A) - неизвестные величины в уравнении линейной регрессии. Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

lnX(t_i) = 0,18 + 0,71*lnK(t_i) + 0,45* lnL(t_i)

При этом нельзя забывать, что это уравнение регрессии справедливо только в пределах определенных минимальных и максимальных значений переменных:

6,46 ≤ lnK(t) ≤ 7,21; 4,89 ≤lnL(t) ≤ 5,59, на базе которых оно и было получено.

Для нахождения величины коэффициента нейтрального технического прогресса A, используем стандартную функцию «Exp» ТР «Excel». Таким образом значение А=1,2.

Полученные коэффициенты уравнения множественной регрессии, устанавливающие зависимость выпуска продукции от основных производственных фондов и трудовых ресурсов, показали достоверность наличия связи между этими показателями.

И так, производственную функцию Кобба-Дугласа можно записать так: