4 Расчет коэффициентов корреляции и детерминации, проверка правильности выбранных факторов и формы связи
Мы выяснили возможность установления корреляционной связи между значениями х и соответствующими значениями у. Теперь необходимо выяснить, как изменение факторного признака влияет на изменение результативного признака.
Если бы между x и y существовала строгая линейная функциональная зависимость, то расчетные значения ŷ были бы в точности равны фактическим у и разность между ними ŷ–y = 0. На самом деле расчетные значения отклоняются от фактических в силу того, что связь между признаками корреляционная.
В качестве меры тесноты взаимосвязи используется коэффициент корреляции:
r
=
=
(18)
где σx =
σy =
Вычисление коэффициента корреляции по формуле (5) является трудоемкой операцией. Выполнив несложные преобразования, можно получить следующую формулу для расчета линейного коэффициента корреляции:
(19)
Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от минус 1 до плюс 1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи - прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной зависимости – знак минус.
В нашем примере r= 0,967.
Кроме того, можно рассчитать коэффициент детерминации d, который равен квадрату коэффициента корреляции.
В нашем примере d = 0,935.
Это значит, что изменение расходов на товар А можно на 93,5% объяснить изменением дохода.
Остальные 6,5% могут явиться следствием:
недостаточно хорошо подобранной формы связи;
влияния на зависимую переменную каких-либо других неучтенных факторов.
Рассматриваемая нами зависимость описывалась слегка выпуклой кривой. Целесообразно проверить, не улучшится ли результат, если принять криволинейную форму связи.
Воспользуемся степенной функцией вида: ŷ = axb Логарифмируем: lg ŷ = lga + blgx. Для нахождения параметров а и b всю процедуру МНК проделываем не с величинами у и х, а с их логарифмами. После решения системы нормальных уравнений (4) получаем: lg a = -4,525; b = 2,407.
Уравнение регрессии: lg ŷ = -4,525 + 2,407 lg x. Потенцируем и получаем: ŷ = 2,985 * 10-5 * х2,407
Сравним фактические и расчетные расходы на потребление товара А (таблица 3) и построим график полученной функции ŷ (рисунок 5).
Теснота криволинейной связи измеряется корреляционным отношением, обозначаемым через и имеющим тот же смысл, что и r.
Теоретическое корреляционное отношение может быть рассчитано по формуле:
=, (20)
где 2фактор–дисперсия для теоретических значений ŷ (объясненная вариация);
2общ – дисперсия для фактических значений у (необъясненная вариация).
Теоретическое корреляционное отношение можно представить в виде индекса корреляции R. Преобразование основано на равенстве:
2общ =2фактор+2остаточ, , (21)
где 2остаточ – остаточная дисперсия.
2фактор=2общ-2остаточ. , (22)
R
=
=
(23)
В нашем примере = 0,997, ² = 0,994. Как видим криволинейная форма связи точнее отражает зависимость потребления товара А от дохода. Оставшиеся 0, 6% можно объяснить влиянием других факторов.
Рисунок
5 - Сравнение фактических и расчетных
расходов на потребление товара А для
степенного уравнения регрессии
Таблица 3 - Сравнение фактических и расчетных значений расходов на потребление товара А при степенной зависимости
№ группы |
Расходы на товар А |
Отклонение фактических значений от расчетных (у-ŷ) |
||
фактические (у) |
расчетные (ŷ) |
абсолютные |
относительные (в процентах) |
|
1 |
13 |
10 |
+3 |
23,077 |
2 |
20 |
17 |
+3 |
15 |
3 |
24 |
27 |
-3 |
-12,5 |
4 |
38 |
39 |
-1 |
-2,632 |
5 |
45 |
55 |
-10 |
-22,22 |
6 |
60 |
73 |
-13 |
-21,67 |
7 |
100 |
94 |
+6 |
6 |
8 |
150 |
118 |
+32 |
21,333 |
9 |
159 |
145 |
+14 |
8,805 |
10 |
160 |
176 |
-16 |
-10 |
11 |
196 |
211 |
-15 |
-7,653 |
Всего |
- |
- |
0 |
- |