Задача № 7

Данные о стоимости экспорта ( ) и импорта ( ) Испании, млрд $, приводятся за период с 1997 по 2006 г.

В уровнях рядов выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта –

По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и

Годы	Экспорт ( )		Импорт ( )
	E факт.	=	G факт..
1997	60,2	57,5	93,3	82,3
1998	64,3	64,4	99,8	89,6
1999	59,6	71,4	78,6	97,0
2000	73,3	78,3	92,5	104,3
2001	91,7	85,3	115,0	111,7
2002	102,0	92,3	121,8	119,0
2003	104,1	99,2	122,7	126,4
2004	109,2	106,2	133,1	133,7
2005	110,0	113,1	144,0	141,1
2006	113,3	120,1	152,6	148,4

Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:

	Et	Pt	t
Et	1	0,5387	0,6468
Pt	0,5387	1	0,2454
t	0,6468	0,2454	1
ИТОГО	887,7	1153,4	55
Средняя	88,8	115,3	5,5
	20,961	22,847	2,872

Задание:

1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( и ).

2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: а) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; б) уровней рядов: и в) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. «а» и «б») и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. «а» и «в»).

3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составлящей: .

Проанализируйте полученные результаты.

Решение:

1. Отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических:

Годы	Экспорт ( )		Импорт ( )
	Е факт.	Е теор.	Р факт.	Р теор.	DЕ	DЕ2	DР	DР2	DЕ*DР
1991	60,2	57,5	93,3	82,3	-2,7	7,29	-11	121	29,7
1992	64,3	64,4	99,8	89,6	0,1	0,01	-10,2	104,04	-1,02
1993	59,6	71,4	78,6	97	11,8	139,24	18,4	338,56	217,12
1994	73,3	78,3	92,5	104,3	5	25	11,8	139,24	59
1995	91,7	85,3	115	111,7	-6,4	40,96	-3,3	10,89	21,12
1996	102	92,3	121,8	119	-9,7	94,09	-2,8	7,84	27,16
1997	104,1	99,2	122,7	126,4	-4,9	24,01	3,7	13,69	-18,13
1998	109,2	106,2	133,1	133,7	-3	9	0,6	0,36	-1,8
1999	110	113,1	144	141,1	3,1	9,61	-2,9	8,41	-8,99
2000	113,3	120,1	152,6	148,4	6,8	46,24	-4,2	17,64	-28,56
Итого	ххх	ххх	ххх	ххх	0,100	395,45	0,1	761,67	295,6
Средняя	ххх	ххх	ххх	ххх	0,010	39,545	0,010	76,167	29,560
Сигма	ххх	ххх	ххх	ххх	6,29	ххх	8,73	ххх	ххх

2. Тесноту связи рядов оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции отклонений от тренда:

Отсюда:

Полученные значения показателей корреляции говорят о том, что между экспортом и импортом Испании связь имеется со средней вероятностью и часть ее скорее всего объясняется случайными признаками.

Расчетное значение F-критерия подтвердит это предположение:

При числе уровней свободы k₁ = 1 и k₂ =n-m-1 = 10 – 1 – 0 = 9, и уровне критерия значимости равном  = 0,05 по таблице Фишера значение F-критерия должно быть не ниже 5,12 чтобы связь могла считаться существенной. Для нашего случая имеет место: 3,68 < 5,12. То есть корреляция факторов является случайностью с вероятностью 95 %.

3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель линейно влияющего фактора времени позволит через коэффициент а₂ отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а₁ , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт немного более значительно, а также влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме:

;

.

Уравнение имеет вид:

.

То есть, с увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,371 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t_i ) экспорт увеличивается в среднем за год на 3,996 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

;

.

Как видим, получены результаты, точно совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.