Вариант второй Задача №1

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2006 год:

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд руб., Y	Среднегодовая численность занятых в экономике, млн чел., X
1. Республика Адыгея	5,1	0,157
2. Республика Дагестан	13,0	0,758
3. Республика Ингушетия	2,0	0,056
4. Кабардино-Балкарская Республика	10,5	0,287
5. Республика Калмыкия	2,1	0,119
6. Карачаево-Черкесская Республика	4,3	0,138
7. Республика Северная Осетия – Алания	7,6	0,220
8. Краснодарский край	109,1	2,033
9. Ставропольский край	43,4	1,008
10. Астраханская обл.	18,9	0,422
11. Волгоградская обл.	50,0	1,147
12. Ростовская обл.	69,0	1,812
Итого, 	335,0	8,157
Средняя	27,917	0,6798
Среднее квадратическое отклонение, 	32,20	0,6550
Дисперсия, D	1036,87	0,4290

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции .

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r_yx ) и детерминации (r²_yx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

6. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,023 от среднего уровня ( ).

8. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для =0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оцените точность выполненного прогноза.

Решение:

1. Расположим территории по возрастанию фактора X:

Территории федерального округа	Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., X	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y
3. Республика Ингушетия	0,056	2
5. Республика Калмыкия	0,119	2,1
6. Карачаево-Черкесская Республика	0,138	4,3
1. Республика Адыгея	0,157	5,1
7. Республика Северная Осетия – Алания	0,22	7,6
4. Кабардино-Балкарская Республика	0,287	10,5
10. Астраханская обл.	0,422	18,9
2. Республика Дагестан	0,758	13
9. Ставропольский край	1,008	43,4
11. Волгоградская обл.	1,147	50
12. Ростовская обл.	1,812	69
8. Краснодарский край	2,033	109,1

Анализируя полученную таблицу, видим, что при увеличении факторного признака Х (среднегодовой численности занятых в экономике) результативный признак Y (валовой региональный продукт) также растет, значит между рассматриваемыми признаками имеется прямая зависимость.

2. Построим корреляционное поле:

По виду поля корреляции можно сделать вывод о том, что между рассматриваемыми признаками имеется прямая зависимость, а также наиболее близкая форма связи между у и х линейная.

3. Рассчитаем параметры а₁ и а₀ парной линейной функции , методом наименьших квадратов. Построим вспомогательную таблицу:

№ n/n	хi	yi	хi yi	хi2	yi2		ei	ei2	Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	5,1	0,157	0,8007	26,01	0,0246	0,231	-0,074	0,0055	0,474
2	13	0,758	9,854	169	0,5746	0,387	0,371	0,1379	0,490
3	2	0,056	0,112	4	0,0031	0,171	-0,115	0,0131	2,045
4	10,5	0,287	3,0135	110,25	0,0824	0,338	-0,051	0,0026	0,176
5	2,1	0,119	0,2499	4,41	0,0142	0,172	-0,053	0,0029	0,449
6	4,3	0,138	0,5934	18,49	0,019	0,216	-0,078	0,0060	0,563
7	7,6	0,22	1,672	57,76	0,0484	0,281	-0,061	0,0037	0,275
8	109,1	2,033	221,8	11902,81	4,1331	2,275	-0,242	0,0585	0,119
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
9	43,4	1,008	43,747	1883,56	1,0161	0,984	0,024	0,0006	0,024
10	18,9	0,422	7,9758	357,21	0,1781	0,503	-0,081	0,0065	0,191
11	50	1,147	57,35	2500	1,3156	1,114	0,033	0,0011	0,029
12	69	1,812	125,03	4761	3,2833	1,487	0,325	0,1056	0,179
∑	335	8,157	472,2	21794,5	10,693	8,157	0	0,3440	5,015
Ср. знач.	27,92	0,68	39,35	1816,21	0,89	-	-	0,03	0,42

Находим параметры линейного уравнения по следующим формулам:

и

4. Для оценки тесноты связи вычислим коэффициент парной корреляции:

По значению r_xv можно сделать вывод о том, что связь между х и у очень тесная.

Найдем коэффициент детерминации: R² = г²_ху = (0,966)² = 0,933.

Это означает, что вариация валового регионального продукта на 93,3% объясняется вариацией среднегодовой численности занятых в экономике, а необъясненные факторы составляют 6,7%.

5. Надёжность уравнения в целом оценим через F -критерий Фишера для уровня значимости  = 0,05.

Для этого вычислим вначале фактическое значение критерия:

Из таблицы критических значений для критерия Фишера по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k₁ = 1 и k₂ = n – 1 – 1 = 10 находим F_ma6 = 4,96.

В силу того, что F > F_ma6 делаем вывод, что уравнение регрессии значимо (адекватно) и исследуемая зависимая переменная у достаточно хорошо описывается включенной в регрессионную модель переменной х.

6. По полученному уравнению регрессии рассчитаем теоретические значения результата ( ) и занесем их в таблицу. По полученным теоретическим значениям построим теоретическую линию регрессии:

Качество модели определяет средняя относительная ошибка аппроксима­ции:

(%)

В итоге получаем А = 42,0%. В среднем расчетные значения переменной у отклоняются от фактических на 42,0%.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,023 от среднего уровня ( ).

Если прогнозное значение х составит:

(млн. чел.)

тогда прогнозное значение у составит:

(млрд. руб.)

Ошибка прогноза составит:

для числа степеней свободы и составит 2,23, тогда предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

Таким образом, прогнозное значение валового регионального продукта при численности занятых в экономике 0,6954 млн. чел. с вероятностью 95% находится в пределах до 0,5753 млрд. руб.