5.3 Пример модели принятия решения в условиях неопределенности

В условиях неопределенности принцип выбора зависит, как отмечалось выше, от характера противодействия противной стороны (внешней среды). В тех случаях, когда среда «ведет себя» антагонистическим образом по отношению к решению, выбранному органом управления системы, имеет место ситуация, относящаяся к теории игр. Если среда «пассивна» (например, это пассивная природа) и управляющему органу известно распределение вероятностей на множестве состояний среды, то имеет место «игра с природой» или «статистические решения». В общем случае возможна целая градация ситуаций, определяющих стратегию поведения среды.

Рассмотрим далее информационную ситуацию, когда распределения вероятностей на элементах состояния среды: априори известны. Рассмотрим простейший случай, не будем привлекать такие понятия как функция правдоподобия, функция потерь.

Итак, распределение вероятностей задано в виде ряда:

P= (p_1,..,p_j,.., p_l ), p_j= P(=_j), =1, где _j — состояние среды.

Это одна из возможных простейших ситуаций. На практике расчет априорного распределения вероятностей состояния среды производится либо путем обработки статистического материала, либо аналитическими методами на основании гипотез о поведении среды.

Обозначим.

1) = {₁,..,_i,..,_m} — множество возможных альтернатив — вариантов принятия решения;

2)  = {₁,..,_j,..,_l} — множество возможных состояний среды, причем вероятности этих состояний известны: P_j = P{ = _j};

3) Ф = {₁,..,_t,..,_r} — множество принципов (методов) выбора и оценки принятого решения;

С методом выбора решения связано понятие оценочного функционала — F.

F = {f_i,j}, где f_i,j — выигрыш (потеря), если при состоянии среды _j   было принято решение _i.

Будем считать, что оценочный функционал имеет положительный ингредиент и обозначается F⁺, если ставится задача достижения максимума: max{f_i,j}. При отрицательном ингредиенте функционала F^- лучшему решению соответствует min {f_i,_j}.

Таким образом ситуация принятия решения характеризуется тройкой {,,F}.

Соответственно, может быть получена матрица значений оценочного функционала (ситуационная матрица)

Различным принципам выбора соответствуют определенные критерии выбора – алгоритмы, которые определяют единственное оптимальное решение или множество таких решений. Для рассматриваемой ситуации могут быть использованы критерий Байеса, критерий минимакса (максимина), критерий минимума дисперсии оценочного функционала и др.

Рассмотрим эти подходы на примере.

Пусть оценочный функционал имеет положительный ингредиент, и ситуационная матрица имеет вид:

	1	2	3
j}	0.2	0.3	0.5
1	5	4	3
2	1	5	5
3	4	2	4

При использовании критерия Байесса максимизируется (в задаче на максимум) математическое ожидание результата. (Рассмотрен простой пример без использования решающих функций).

B^*(P,_i) =

В рассматриваемом примере: В случае принятия альтернативы :

₁ — B^*(P,₁) = 50,2 + 40,3 + 30,5 = 3,7.

₂ — B^*(P,₂) = 40,2 + 50,3 + 50,5 = 4,2

₃ — B^*(P,₃) = 40,2 + 20,3 + 40,5 = 3,4

Таким образом, согласно этому принципу наиболее предпочтительной является альтернатива ₂.

При максминном подходе (в задаче на максимум) максимизируется наихудший из возможных результатов. (Здесь рассматриваются только чистые стратегии).

В^*=

В рассматриваемом примере: в случае ₁: min(5,4,3) = 3;

в случае ₂: min(1,5,5) = 1;

в случае ₃: min(4,2,4) = 2;

И согласно этому принципу наилучшей является альтернатива ₁, которой соответствует максимум минимального результата.

Аналогично может быть решена задача на минимум.

В случае смешанных стратегий находится В^*(_i,p_i), отличающееся от найденного выше В^*.