5.2.2. Декомпозиция задачи принятия решения и оценка свойств альтернатив

Общепринятый подход в задаче выбора лучшего решения — переход от сравнения альтернатив к сравнению их свойств (характеристик, признаков, преимуществ). После сравнения свойств вновь осуществляется переход к сравнению альтернатив, но проблема уже значительно упрощается. Выделение свойств альтернатив является задачей декомпозиции. Декомпозиция в общем случае имеет иерархический характер. Каждое свойство 1-го уровня делится на набор свойств 2-го уровня и так далее до такого уровня, на котором свойства оказываются легко сравнимыми.

Используются три способа сравнения альтернатив по их свойствам:

а) попарное (групповое) сравнение по определенному свойству;

б) на основе естественных числовых характеристик свойств;

в) на основе искусственно введенных характеристик свойств.

а) Попарное сравнение

Формально — это бинарная операция по признаку R.

_iR_j — означает, что согласно признаку R альтернатива _i предпочтительней альтернативы _j.

При таком сравнении справедлива аксиома транзитивности:

(_iR_j) и (_jR_k) (_iR_k),

а также дополнительно при строгом предпочтении могут быть справедливы аксиомы асимметричности: из (_iR_k) и (_kR_i) верно может быть только одно, и антирефлективности: из (_iR_k) следует несовместимость _i и _k.

На основе бинарных отношений возможно ранжирование альтернатив по каждому свойству.

б) Сравнение с использованием числовых характеристик (естественных или искусственно введенных).

Свойства, для которых известны числовые характеристики, называются критериями.

При идеальной декомпозиции имеет место набор критериев, т.е. имеет место многокритериальная задача. Очень важна аккуратность, объективность при вводе искусственных характеристик, что достигается при четком понимании физической сути изучаемого процесса.

Например, при сравнении пассажирских самолетов выделено свойство «комфортность», которое, в свою очередь, разбивается на свойства следующего уровня: расстояние между креслами, уровень шума в самолете, уровень вибрации, предельные характеристики системы искусственного климата и др. Каждое из свойств этого уровня уже может быть оценено численно.

Пример искусственных критериев — баллы, как оценки экспертов. Искусственные оценки могут переходить в естественные. Например, при экзамене значения процента правильных ответов соответствуют определенному баллу. В сложных случаях большого набора критериев возможна классификация — деление свойств на классы (группы по важности).

5.2.3.Композиция оценок свойств и сравнение альтернатив.

Переход от сравнения отдельных свойств к сравнению альтернатив является задачей композиции. Возможны различные случаи решения этой задачи.

а) Случай, когда все свойства оценены численно — получен набор критериев.

Пусть C_k(ⁱ) — численная оценка k-го свойства i-ой альтернативы, k = .

Введем векторное пространство, называемое критериальным, в котором каждой i-ой альтернативе будет соответствовать точка: C(ⁱ) = {C₁(ⁱ), C₂(ⁱ),..., C_m(ⁱ)}, т.е. k-ой составляющей вектора C(ⁱ) является C_k(ⁱ)- численная оценка k-го свойства i-ой альтернативы.

При сравнении двух альтернатив ¹ и ² альтернатива ¹ будет предпочтительнее альтернативе ², если C_k(¹)  C_k(²), для всех k= причем хотя бы одно неравенство строгое. Здесь и далее рассматривается случай, когда лучшему свойству соответствует большее значение численной оценки. В противном случае перед численными оценками свойств можно ставить знак «минус».

Поясним, как можно найти предпочтительные альтернативы, используя критериальное пространство. Рассмотрим для этого пример, когда альтернативы оцениваются по двум критериям. Принимая точку, соответствующую i-ой альтернативе, за начало координат, перенесем в эту точку все координатные оси критериального пространства. Если в положительном октанте полученной таким образом системе координат не окажется ни одной точки, соответствующей какой то другой альтернативе, то i-ая альтернатива является не улучшаемой.

На рис. 4а только одна неулучшаемая альтернатива — это альтернатива 3, на рис. 4б таких альтернатив две — 2 и 3, а на рис. 4в все альтернативы неулучшаемые.

Множество неулучшаемых альтернатив — это множество Парето. Получение множества Парето — 1-й шаг поиска лучшего решения. Есть много других, кроме рассмотренного, эффективных методов изучения множеств Парето.

Для выбора альтернативы на множестве Парето нужно привлекать другие соображения, связанные с особенностями решаемой задачи.

б) Случай, когда нет численных оценок, а есть только результаты попарного сравнения.

Пусть каждая альтернатива характеризуется n-свойствами и по каждому из этих свойств проведена операция пожарного сравнения. Все операции обладают свойствами транзитивности и антирефлексивности. Если сравнение возможно для каждой пары альтернатив по каждому свойству, то оказывается возможным все альтернативы ранжировать по каждому свойству, при этом будет получен набор перестановок из альтернатив — матрица с n-столбцами (по числу свойств) и m-строками (по числу альтернатив).

Пример. Пусть имеют место четыре альтернативы, каждая из которых характеризуется двумя свойствами. Результаты попарного сравнения имеют вид:

• по свойству 1: 1R14, 4R13, 3R12

• по свойству 2: 4R23, 3R22, 2R21

Соответственно матрица результатов сравнения имеет вид:

Альтернативы	свойство 1	свойство 2
I	1	4
II	4	3
III	3	2
IV	2	1

Один из способов дальнейшей работы с матрицей попарного сравнения — ввод условного векторного пространства свойств. Альтернативы располагаются на каждой из i-ых осей искусственно введенного критериального пространства в соответствии с их ранжированием по i-му свойству. Затем выделяются неулучшаемые альтернативы таким же способом, как в предыдущем случае.

Для приведенного выше примера 2-х альтернатив с 4-мя свойствами условное пространство свойств имеет вид, показанный на рис. 5.

В рассмотренном примере неулучшаемыми альтернативами являются 1 и 4.

После получения множества неулучшаемых альтернатив дальнейший выбор производится, как и в предыдущем случае, с учетом физической сущности процесса по какому либо правилу свертки множества критериев.

В рассмотренном примере в качестве лучшей может быть признана, например, альтернатива 4, у которой сумма рангов свойств наименьшая, (2+1) < (1+4).

Более сложным является случай неполноты ранжирования.