36.)Примеры решений уравнения Шредингера

откуда:

Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное и даже полностью противоречащее классической механике. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды в условиях, когда с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение.

Частица в бесконечно глубокой прямоугольной одномерной потенциальной яме. Волновая функция, энергия, плотность вероятности. Принцип соответствия.

1. Потенциальная яма – ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия Wп частицы меньше, чем вне этой области. Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а числа , определя­ющие энергетические уровни электрона,— квантовыми числами. Таким образом, электрон в потенциальном «ящике» может находиться на опреде­ленном энергетическом уровне Wn. Иногда говорят, что он находится в определенном квантовом состоянии .

Одномерная прямоугольная «потенциальная яма» с бесконеч­но высокими «стенками» описывается потенциальной энергией вида

где  — ширина «ямы», а энергия отсчиты­вается от ее дна (рис.).

Пси-фушщия частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное урав­нение Шредингера имеет вид  (7.1)

где  - собственные функции (решения уравнения Шредингера).

37.)Атом водорода в квантовой механике

Уравнение Шредингера для атома водорода:

Если Е<0:

Если Е0, то появляется свободный электрон и полностью ионизированный водород.

Принцип квантования энергии гласит, что любая система взаимодействующих частиц, способная образовывать стабильное состояние — будь то кусок твердого тела, молекула, атом или атомное ядро, — может сделать это только при определенных значениях энергии. Атом водорода — физическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра может входить протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода. Электрон преимущественно находится в тонком концентрическом шаровом слое вокруг атомного ядра, образуя электронную оболочку атома. Наиболее вероятный радиус электронной оболочки атома водорода в стабильном состоянии равен боровскому радиусу a₀ = 0,529 Å.

Атом водорода имеет специальное значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике, поскольку для него проблема двух тел имеет точное или приближенное аналитическое решения. Эти решения применимы для разных изотопов водорода, с соответствующей коррекцией.

В квантовой механике атом водорода описывается двухчастичной матрицей плотности или двухчастичной волновой функцией. Также упрощенно рассматривается как электрон в электростатическом поле бесконечно тяжёлого атомного ядра, не участвующего в движении (или просто в кулоновском электростатическом потенциале вида 1/r). В этом случае атом водорода описывается редуцированной одночастичной матрицей плотности или волновой функцией.

В 1913 году Нильс Бор предложил модель атома водорода, имеющую множество предположений и упрощений, и вывел из неё спектр излучения водорода. Предположения модели не были полностью правильны, но тем не менее приводили к верным значениям энергетических уровней атома.

Результаты расчётов Бора были подтверждены в 1925—1926 годах строгим квантово-механическим анализом, основанном на уравнении Шрёдингера. Решение уравнения Шрёдингера для электрона в электростатическом поле атомного ядра выводится в аналитической форме. Оно описывает не только уровни энергии электрона и спектр излучения, но и форму атомных орбиталей.