45.) Функции распределения Ферми-Дирака и Бозе – Эйнштейна

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

<N_i>=

где <N_i>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией E_i,  — химический потенциал.

- функция распределения Бозе — Эйнштейна( - энергия частиц, - химический потенциал, k- постоянная Планка, T-температура).

Если е(^Ei-)/(kT)>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

<N_i>=A

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)> =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. Из Бозе – Эйнштейна следует, что при Т=0 К функция распределения <N(E)1, если E<₀, и <N(E)0, если E>₀. Гра­фик этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до ₀ функция <N(E)> равна единице. При E=₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей ₀, свободны. Следовательно, ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается Е_F (E_F=₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде:

<N(E)>=

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа.

46.)Статические функции квантового газа

Функции распределения: энергия не зависит от координации атомов, она вырождена по спинам, координатам.

Выражение для энергии:

Выражение для числа частиц:

Функция плотности состояний: .

Функция плотности заселения: .

47.)Вырожденный электронный газ в металлах

Ферми-поверхность - поверхность постоянной энергии в k-пространстве, равной энергии Ферми в металлах или вырожденных полупроводниках. Знание формы поверхности Ферми играет важную роль во всей физике металлов и вырожденных полупроводников, так как благодаря вырожденности электронного газа транспортные свойства его, такие как проводимость, магнетосопротивление зависят только от электронов вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми разделяет заполненные состояния от пустых при абсолютном нуле температур.

1. Вырожденный газ в металле:

2. , где - энергия Ферми

Функции распределения и плотности заселения при .

1. 

2.