2. 2. Диференціальні рівняння першого порядку

Згідно з означенням 8.1 диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

. (8.2)

Якщо співвідношення (8.2) розв’язати відносно , то одержимо рівняння вигляду

, (8.3)

яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної. Таке рівняння завжди можна записати в диференціальній формі

. (8.4)

Дійсно, якщо , то , а це означає, що .

Навпаки, якщо диференціальне рівняння записане у формі (8.4), і якщо , то його завжди можна розв’язати щодо похідної:

,

тобто записати у вигляді .

Диференціальне рівняння першого порядку має, взагалі, не один, а незліченну множину розв'язків.

Так, для рівняння розв'язками є функції , , і, взагалі, , де – довільна стала. У цьому легко переконатися, підставивши потрібне значення і значення похідної в диференціальне рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння , що містить у собі довільну сталу, будемо називати загальним розв'язком диференціального рівняння. Загальний розв'язок, не розв’язаний щодо шуканої функції , називають загальним інтегралом диференціального рівняння. Розв'язок, отриманий із загального при конкретному значенні довільної сталої будемо називати частинним розв'язком. Так, для диференціального рівняння розв'язок є загальним, а розв'язки , , – частинними розв'язками.

Графіком частинного розв'язку диференціального рівняння є інтегральна крива , графіком загального розв'язку – сім’я інтегральних кривих.

На рис. 8.1 зображена сім’я інтегральних кривих диференціального рівняння .

Рис. 8.1.

Для того, щоб із загального розв'язку виділити визначений частинний розв'язок, приходиться задавати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу . Пари чисел , називають початковими умовами. Геометрично задання початкових умов рівнозначно заданню точки – “початкової точки” на площині . Будемо казати, що розв'язок рівняння задовольняє початковій умові , якщо , тобто, якщо графік проходить через точку .

Відшукання розв'язку диференціального рівняння , що задовольняє заданим початковим умовам, є однією з найважливіших задач теорії диференціальних рівнянь і називається задачею Коші. Відповідь на питання чи існує такий розв'язок і чи буде він єдиним дає така теорема.

Теорема Коші. Якщо функція неперервна в деякій області площини і має в області неперервну частинну похідну , то яка б не була точка цієї області, існує, і притому єдиний, розв'язок рівняння , який приймає при значення .

Геометрично це твердження означає, що через кожну внутрішню точку області проходить єдина інтегральна крива рівняння. Наприклад, для диференціального рівняння функція неперервна для всіх , її частинна похідна також неперервна для усіх .

Будемо розглядати, як правило, диференціальні рівняння, для яких умови теореми Коші виконуються.

Не існує загального методу розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянемо лише деякі типи рівнянь, для кожного з яких існує свій метод розв'язання.