7. Системи диференціальних рівнянь
Системою двох диференціальних рівнянь першого порядку називається сукупність співвідношень
(8.40)
де – незалежна змінна, а , – шукані функції.
Розв'язком системи (8.40) називається всяка пара функцій , , підстановка яких у рівняння (8.40) перетворює систему у правильні рівності.
Система диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідних від невідомих функцій, називається нормальною системою диференціальних рівнянь.
Загальний вигляд нормальної системи двох диференціальних рівнянь із двома невідомими функціями і такий:
(8.41)
Від системи двох
диференціальних рівнянь завжди можна
перейти до одного рівняння з однією
невідомою функцією, наприклад
.
Для цього потрібно кожне рівняння
системи продиференціювати та з отриманих
чотирьох рівностей, враховуючи на
(8.41), виключити величини
,
.
Після інтегрування одержуємо загальний
розв'язок
,
з якого
знаходиться на основі згаданих вище
рівностей.
Приклад 8.16. Розв’язати систему рівнянь
Розв’язання. Продиференціюємо перше рівняння за :
.
Замінивши
його значенням із другого рівняння
системи, одержимо
.
Підставляючи
замість
з першого рівняння системи
,
маємо лінійне неоднорідне диференціальне
рівняння другого порядку
.
Знайдемо його
розв'язок згідно з
.
Однорідне рівняння, що відповідає
даному, має вигляд
.
Його характеристичне рівняння
має корені
,
.
Загальний розв'язок однорідного рівняння
буде
.
Функція правої частини рівняння
(неповний многочлен першого порядку).
Для неї число
(немає ні показникової, ні тригонометричних
функцій) зустрічається серед коренів
характеристичного рівняння один раз,
тому частинний розв'язок рівняння
знайдемо у вигляді
.
Обчислимо похідні
,
:
;
.
Підставляючи
,
,
у диференціальне рівняння, одержуємо
.
Прирівнявши коефіцієнти при
і вільні члени лівої і правої частин
рівності, знайдемо, що
,
,
,
.
Підставляючи
знайдене значення
та його похідну
в перше рівняння системи, знаходимо
або 
.
Сім’я розв'язків даної системи рівнянь дається функціями
, .
Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
Система двох лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами має вигляд
(8.42)
Розв'язки цієї системи мають такі властивості.
1. Якщо
,
– розв'язки системи (8.42), то
,
– де
– будь-яке число, також є розв'язками
системи.
2. Якщо
,
і
,
– розв'язки системи (8.42), то функції
,
також будуть розв'язками системи.
З властивостей 1
і 2 випливає, що для будь-яких чисел
,
лінійна комбінація розв'язків
,
також є розв'язком системи.
Будемо шукати ненульові розв'язки системи (8.42) у вигляді
,
,
(8.43)
де , , – деякі невідомі поки числа, які треба підбирати так, щоб функції (8.43) задовольняли систему (8.42).
Підставляючи функції (8.43) та їх похідні в рівняння системи (8.42) після скорочення на і перенесення всіх членів в одну частину рівності, одержуємо
(8.44)
Для того, щоб ця система рівнянь мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю. Таким чином число k повинно задовольняти рівняння
(8.45)
Рівняння (8.45)
називається характеристичним рівнянням
системи (8.42). Це рівняння другого степеня
відносно
.
Воно має два корені
і
.
Кожному з цих коренів відповідає
ненульовий розв'язок системи (8.44).
Позначимо ці
розв'язки відповідно
,
,
,
.
Тоді ненульові розв'язки даної системи
диференціальних рівнянь (8.42) матимуть
вигляд:
,
,
,
.
Лінійна комбінація цих розв'язків з довільними коефіцієнтами
(8.46)
також буде розв'язком системи (8.42). Якщо корені характеристичного рівняння (8.45) різні, то можна показати, що цей розв'язок буде загальним розв'язком системи (8.42). У випадку, якщо корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені: , то знайдені зазначеним вище методом комплексні розв'язки можна замінити дійсними розв'язками, відокремлюючи дійсні і уявні частини їх складовими функціями.
У випадку кратних коренів характеристичного рівняння відшукання загального розв'язку системи (8.42) значно складніше.
Приклад 8.17. Розв’язати систему рівнянь
Розв’язання.
Характеристичне рівняння матриці
системи має вигляд
.
Звідки
.
Після перетворень
одержуємо два різних дійсних корені
рівняння
,
.
Отже, загальний розв'язок заданої системи
рівнянь має вигляд (8.46):
При
система (8.44) для визначення чисел
і
перетвориться в систему:
Очевидно, що система
має незліченну множину розв'язків, яку
можна виразити залежністю
.
Приймаючи для конкретності
,
одержуємо
.
При
система (8.44) для визначення чисел
і
набуває вигляду
Аналогічно попередня
система має незліченну множину розв'язків,
яку можна виразити залежністю
,
Приймаючи
,
одержимо
.
Отже, загальний розв'язок заданої системи рівнянь:
