4. Основні методи інтегрування
Слід зазначити, що не існує універсального методу знаходження невизначених інтегралів. Основою для цього є таблиця інтегралів, властивості інтегралів, методи інтегрування.
Безпосереднє інтегрування.
Так називають інтегрування з використанням таблиці основних інтегралів та властивостей неозначеного інтегралу. Наведемо приклади безпосереднього інтегрування.
Приклад 5.1.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання. Маємо:
.
Приклад 5.2.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Приклад 5.3.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Приклад 5.4.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Приклад 5.5.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Приклад 5.6.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
При інтегруванні зручно використовувати властивість інваріантності диференціалу; наведемо, наприклад, такі формули:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Приклад 5.7. Обчислити інтеграли:
а)
;
б)
.
Розв’язання.
а)
;
б)
.
Приклад 5.8.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Приклад 5.9.
Обчислити
інтеграл
.
Розв’язання.
.
Зауваження. При знаходженні суми інтегралів звичайно відразу пишуть одну довільну сталу.
Заміна змінної при інтегруванні.
Нехай на деякому
проміжку визначена складна функція
і функція
неперервна на цьому проміжку. Тоді:
. (5.3)
Формулу (5.3) називають формулою заміни змінної при інтегруванні.
Приклад 5.10.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Вибір конкретної заміни “підказується” властивістю інтегралу.
Приклад 5.11.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
,
або, повертаючись до змінної
,
маємо
Приклад 5.12.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
Розділивши чисельник та знаменник
функції на
,
маємо
Ці перетворення
підказують наступну заміну:
.
Тоді:
Приклад 5.13.
Обчислимо інтеграл
,
.
Розв’язання.
Застосуємо підстановку
,
.
Тоді
,
і
(зауважимо, що оскільки
для
,
то арифметичне значення кореня
дорівнює
);
беручи інтеграл, одержуємо
.
З рівності
одержимо, що
,
Остаточно маємо
Значення цього інтегралу наведено в
таблиці основних інтегралів.
Приклад 5.14.
Обчислити інтеграл
Розв’язання. Обчислимо даний інтеграл кількома способами.
а) Нехай
Маємо
Враховуючи, що
а
одержуємо
б) Нехай
отже,
в) Покладемо
тоді
причому
маємо
Враховуючи, що
розв’язуючи рівняння
відносно
-
параметр) та відкинувши
,
маємо
.
Формально одержимо іншу відповідь
порівняно з рішенням у пп. “а”, “б”,
але можна одержати ту ж саму відповідь,
якщо враховувати, що
Помітимо, що якщо
первісна
існує, то при різних підстановках
відрізняється лише сталою. Цей інтеграл
можна обчислити за допомогою інших
підстановок (
).
Це свідчить про творчий процес
інтегрування.
Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.
Цей метод опирається на рівність
(5.4)
яку називають формулою інтегрування частинами.
Застосування
формули (5.4) доцільно у тих випадках,
коли підінтегральний вираз
вдається представити у вигляді добутку
двох множників
і
таким чином, щоб інтегрування виразів
та
стало задачею більш простою, ніж
інтегрування початкового виразу.
По відомому
диференціалу
функція
визначається неоднозначною, але у
формулі (5.4) за
може бути вибрана будь-яка функція, що
має диференціал
(тобто довільну сталу при знаходженні
випускають).
Іноді для обчислення інтегралу формулу інтегрування по частинам доводиться застосовувати декілька разів.
Приклад 5.15.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Приклад 5.16.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Обчислимо інтеграл:
.
Остаточно маємо
Приклад 5.17.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Таким чином
Приклад 5.18.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
.
Таким чином
Приклад 5.19.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
Шляхом інтегрування частинами
можна одержати рекурентну формулу для
обчислення інтегралу:
.
(5.5)
По формулі (5.5)
зводиться до
(будемо писати
),
Приклад 5.20.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання.
В цьому випадку прийшлося б п’ять разів
інтегрувати по частинам, кожного разу
вибираючи многочлен за
.
Простіше скористатися формулою (
– многочлен)
В нашому випадку
