- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
1. Первісна і невизначений інтеграл
Однією з основних задач диференціального числення є обчислення похідної заданої функції. Різні питання природознавства приводять до розв'язку оберненої задачі – відновленню функції по заданим її похідній чи диференціалу.
Означення 5.1. Функція називається первісною для функції на даному проміжку, якщо в кожній точці цього проміжку
. (5.1)
Так, для функції первісна чи , чи ..., тобто функція має не одну первісну.
Теорема 5.1. Якщо первісна для функції , то теж буде первісною для функції .
Припустимо, що у функції є первісна іншого вигляду і для неї виконується означення 5.1
.
Розглянемо функцію . Її похідна тобто . Отже, , звідки , тобто , де – довільна стала.
Можна стверджувати наступне. Якщо функція неперервна на проміжку, то вона має первісну на цьому проміжку.
Означення 5.2. Невизначеним інтегралом функції називається сукупність всіх її первісних.
Позначається невизначений інтеграл символом
, (5.2)
де – підінтегральна функція; – підінтегральний вираз; – змінна інтегрування; – диференціал змінної інтегрування.
Таким чином, , , і т.п.
Обчислення первісної чи невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції. Очевидно, що інтегрування є операція, обернена диференціюванню.
Для того, щоб перевірити, чи правильно виконана операція інтегрування, досить продиференціювати результат і одержати при цьому підінтегральну функцію.
Наприклад, , оскільки
.
2. Основні властивості невизначеного інтеграла
Основні властивості невизначеного інтеграла наступні.
1) Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
.
2) Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу
.
3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює
.
4) Сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла
, – стала.
Для доведення продиференціюємо ліву і праву частини рівності, одержимо ; .
Отже, ліва і права частини рівності співпадають.
5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів цих функцій
.
Переконатися в правильності рівності можна, продиференціювавши його ліву і праву частину.
Властивість 5 поширюється на будь-яке число доданків.
6) Формула інтегрування залишається вірною, якщо в ній замінити будь-якою диференційованою функцією , а – її диференціалом (властивість інваріантості невизначеного інтеграла), тобто
.
Обчислимо похідні лівої і правої частини останньої рівності по як від складної функції, одержимо
,
.
Отже, властивість вірна.
Наприклад, якщо , то , і т.п. Зокрема, якщо , то , у чому легко переконатися, обчисливши похідну лівої і правої частини рівності.
Наприклад, , і т.п.
3. Таблиця невизначених інтегралів
Кожна з наступних формул вірна на проміжках, які належать області визначення підінтегральної функції.
1. 2. .
3. . 4. .
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. .
17. .
18.
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. 25.
Частина формул цієї таблиці безпосередньо випливає з визначення інтегрування як операції, оберненої диференціюванню і таблиці похідних. Інші формули легко можуть бути перевірені, для цього досить продиференціювати результат інтегрування й одержати підінтегральну функцію.