- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл , де функція неперервна на відрізку . При цьому диференційована функція на відрізку , причому , . Покажемо, що
. (5.33)
Дійсно, за формулою Ньютона–Лейбніца
,
де – деяка первісна для функції на відрізку . Оскільки при цьому функція є первісною для функції на відрізку , то
.
Враховуючи, що , , одержуємо , тобто формула (5.33) вірна.
Приклад 5.30. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Замінимо , . Якщо змінюється від 0 до 1, то змінна змінюється від 0 до . Застосовуючи формулу (5.33) одержуємо
Зауваження. Варто звернути увагу на те, що при обчисленні визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної немає необхідності повертатися до колишньої змінної.
11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Нехай функції і неперервні на відрізку і мають на цьому відрізку неперервні похідні. Тоді диференціал їхнього добутку дорівнює: .
Проінтегрувавши рівність на відрізку , одержимо
.
Оскільки , то формула набуває вигляду , звідки
. (5.34)
Приклад 5.31. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Нехай , . Тоді , . Застосовуючи формулу (5.34), одержимо
12. Невласні інтеграли
Вводячи визначений інтеграл як границю інтегральної суми, припускали, що відрізок інтегрування скінченний, а підінтегральна функція на ньому неперервна.
Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, дане визначення втрачає зміст, а визначений інтеграл називається невласним.
Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
Нехай функція неперервна на проміжку . Тоді вона є неперервною на будь-якому відрізку , що належить проміжку й існує її визначений інтеграл
.
При цей інтеграл є функцією своєї верхньої границі і тоді
. (5.35)
Якщо така границя існує і скінченна, інтеграл називається збіжним; якщо ж границя нескінченна чи не існує, то він розбіжний.
Приклад 5.32. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Згідно (5.35) маємо
Рис. 5.4.
Приклад 5.33. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Застосовуючи формулу (4.14), одержуємо
тобто інтеграл розбіжний.
Аналогічно, якщо функція неперервна на , то
, (5.36)
може бути як збіжним, так і розбіжним.
Приклад 5.34. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. За означенням
інтеграл збіжний.
Очевидно, що результат залежить від поведінки первісної при .
Для функції , неперервної на всій числовій осі, невласний інтеграл визначається рівністю де – будь-яке число. Якщо хоча б один з інтегралів правої частини рівності розбіжний, інтеграл теж розбіжний.
Невласні інтеграли мають властивості, аналогічні властивостям визначених інтегралів.
Зокрема, якщо ввести умовні позначки то одержимо для розглянутих інтегралів узагальнення формули Ньютона–Лейбніца:
;
;
.