- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
12. Економічні задачі
Нехай задана виробнича функція , що виражає залежність, наприклад, витрат виробництва від кількості двох видів продукції і , що виготовляються. Припустимо, що чинник змінився на , тоді виробнича функція зміниться на .
Вираз відображає середній приріст виробничої функції на одиницю приросту чинника , чи середні витрати виробництва на одиницю продукції . Перейшовши до границі при , одержимо граничні витрати виробництва на одиницю продукції : . Аналогічно за чинником : .
Еластичність виробничої функції щодо чинників виробництва і встановлюється так: і вказує приблизно процентний приріст виробничої функції (підвищення, зниження), що відповідає приросту чинника на 1% за умови, якщо чинник не змінюється; і вказує приблизно відсотковий приріст виробничої функції, що відповідає приросту чинника на 1% за умови, якщо чинник не змінюється.
Якщо виробнича функція встановлює залежність випуску від виробничих чинників , , ..., у вигляді , то диференціальними характеристиками такої функції є: – гранична ефективність відносно чинника , – еластичність випуску відносно та інші.
Приклад 4.10. Для випуску деякого товару визначена виробнича функція , де , – чинники виробництва. Визначити: а) закон зміни виробничої функції; б) еластичність функції за кожним чинником; в) коефіцієнт еластичності за чинниками при , .
Розв’язання. Для визначення зміни виробничої функції за чинниками і відповідно, необхідно знайти і :
; .
За означенням еластичність функції за кожним з чинників така:
; .
Обчислимо коефіцієнти еластичності при , . Врахуємо, що :
, .
Таким чином, зі збільшенням чинника на 1% відбудеться відносне збільшення заданої виробничої функції приблизно на 0,89% (за умови стабільності чинника ).
При збільшенні чинника на 1% і незмінності чинника виробнича функція збільшиться приблизно на 0,26%. Виходить, найбільший вплив на виробничу функцію робить чинник .
Відзначимо, що від'ємне значення коефіцієнта еластичності показує зменшення виробничої функції при збільшенні відповідного чинника. Наприклад, якщо і – функція випуску продукції, то збільшення чинника на 1% приводить до зниження випуску продукції на 0,08%.
Приклад 4.11. Фірма реалізує частину товару на внутрішньому ринку, а іншу частину поставляє на експорт. Зв'язок ціни товару і його кількості , проданого на внутрішньому ринку, описується рівнянням кривої попиту: . Аналогічно для експорту ціна і кількість також зв'язані відношенням (рівнянням кривої попиту): . Сумарні витрати визначаються виразом: . Яку цінову політику повинна проводити фірма, щоб прибуток був максимальний?
Розв’язання. Сумарний доход: , де , – доходи від продажу на внутрішньому ринку і від експортних постачань відповідно:
,
.
В обох випадках ціна береться з відповідних кривих попиту.
.
Одержуваний фірмою прибуток
Знаходимо частинні похідні першого порядку:
, ,
Стаціонарна точка .
Обчислюємо частинні похідні другого порядку:
, , ,
, .
Виходить, у стаціонарній точці існує максимум.
Знайдемо оптимальні ціни для продажу на внутрішньому і зовнішньому ринках, підставляючи координати точки максимуму в криві попиту:
,
.
Підраховуємо максимальний прибуток при оптимальних об'ємах продажу на внутрішньому і зовнішньому ринках:
Приклад 4.12. Фірма робить два види товарів і і продає їх за ціною 1000 грош. од. і 800 грош. од. відповідно. Об'єми випуску товарів – і . Функція витрат має вигляд
.
Потрібно знайти такі значення і , при яких прибуток, одержуваний фірмою, максимальний і знайти цей прибуток.
Розв’язання. Сумарний доход від продажу товарів і :
.
Прибуток являє собою різницю між доходом і витратами , тому ,
.
Це і є функція, максимум якої потрібно знайти. Для знаходження стаціонарних точок, визначаємо частинні похідні першого порядку від функції і прирівнюємо їх до нуля:
, ,
Стаціонарна точка . Знаходимо частинні похідні другого порядку:
, , ,
, .
Таким чином, точка є точкою максимуму. Максимальний прибуток досягається при об'ємах виробництва , . Знайдемо суму максимального прибутку:
Вправи
4.1. Знайти область визначення функції і побудувати її на площині:
а) ; б) ; в) .
4.2. На площині побудувати сімейство ліній рівня:
а) ; б) .
4.3–4.12. Знайти частинні похідні першого порядку.
4.3. . 4.4. .
4.5. . 4.6. .
4.7. . 4.8. .
4.9. . 4.10. .
4.11. . 4.12. .
4.13. Знайти повні диференціали функцій:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
4.14. Обчислити приблизно за допомогою повного диференціала:
а) ; б) ; в) .
4.15. Знайти похідну функцію в напрямку прямої у точці .
4.16. Знайти градієнт функції в точці .
4.17. Знайти напрямок найбільшої зміни функції в точці .
4.18. Знайти похідні другого порядку функцій:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
4.19. Дослідити функції на екстремум:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
4.20. Наводяться дані про ріст продуктивності праці і зниження собівартості продукції по підприємству за 5 років стосовно базисного періоду, прийнятому за одиницю:
Час у роках |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Продуктивність праці |
1,05 |
1,09 |
1,13 |
1,18 |
1,24 |
Собівартість продукції |
0,98 |
0,95 |
0,93 |
0,90 |
0,88 |
Лінійна залежність зниження собівартості від росту продуктивності праці . По цим даним знайти параметри і , застосувавши спосіб найменших квадратів.
4.21. Нехай – виробнича функція. Знайти закон зміни виробничої функції за кожним з чинників, і , коефіцієнти еластичності по витратах точці . Зробити висновки:
а) ;
б) ;
г) ;
д) ;
є) ;
ж) .
4.22. Потік пасажирів виражається функцією , де – число мешканців; – відстань між містами. Знайти частинні похідні і пояснити їх зміст.
4.23. Фірма виробляє два види товарів в кількостях і відповідно. Функція витрат має вигляд , а крива попиту для кожного товару , , де , – ціна одиниці товару. Крім цього, фірма пов’язана обмеженням на загальний об’єм виробництва товарів, її квота складає 15 одиниць, тобто . Знайти максимальний прибуток, який може бути досягнутий за цією умовою.
4.24. Є такі дані про ціну на нафту , грош. од. та індекс акцій нафтових компаній , умов. од.:
|
17,28 |
17,05 |
18,30 |
18,80 |
19,20 |
18,50 |
|
537 |
534 |
550 |
555 |
560 |
552 |
Припускаючи, що між змінними і існує лінійна залежність , знайти і використовуючи метод найменших квадратів.
4.25. Фірма виробляє два види товарів та і продає їх за ціною 500 грош. од. та 800 грош. од. відповідно. Обсяги випуску товарів – та . Функція витрат має вигляд . Знайти такі значення та за яких прибуток, отриманий фірмою, максимальний. Обчислити цей прибуток.
4.26. Сумарний прибуток підприємства залежить від виду двох ресурсів та і виражається функцією . Визначити витрати ресурсів та , що забезпечують максимальний прибуток підприємства і знайти його для функцій:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
4.27. Річні видатки підприємства можуть бути виражені функцією . При яких та видатки підприємства будуть найменшими? Розрахувати коефіцієнти еластичності при .
4.28. Фірма вирішила щомісяця вкладати 10000 грош. од. на виробництво деякої продукції. Нехай середня заробітна платня по фірмі складає 200 грош. од., а вартість одиниці сировини дорівнює 100 грош. од. Визначити яку кількість робочих потрібно та яка кількість сировини необхідно придбати фірмі для одержання найбільшого об’єму продукції , якщо відомо, що об’єм прямо пропорційний до кількості робочих та кількості сировини з коефіцієнтом пропорційності рівним 10.
4.29. Функція корисності має вигляд . Ціна одиниці першого блага дорівнює 9, другого – 18. На придбання цих благ може бути затрачена сума, рівна 800. Як потрібно розподілити цю суму між двома благами, щоб користь від цих придбань була найбільшою.
4.30. Функція витрат , а також функція кількості реалізованого товару при встановленій ціні за одиницю, рівній . Знайти оптимальні значення та для монополіста-виробника у двох випадках:
а) , ;
б) , .