8.3.1. Поле прямого тока

Выделим на прямом проводнике с протекающим по нему током I элемент l, рис.8.4. Проведем радиус-вектор в точку М, в которой будем определять вектор , созданный этим элементом тока. С учетом (8.4) находим, что вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и , и направлен за плоскость чертежа (на рис.8.4. вектор изображен крестиком в кружке). Далее можно найти, что , откуда, принимая во внимание, что получаем . В пределе, при l  0, получим .

Поставив это выражение в (8.5), найдем

.

Интегрируя последнее равенство, получаем

. (8.7)

Д ля бесконечно длинного проводника , , тогда из (8) следует, что

(8.8)

8.3.2. Поле кругового тока

Круговой ток изображен на рис.8.5. Элемент этого тока создает в центре витка с током вектор индукции , величина которого в соответствии с (8.5) составляет

,

а направление, определяемое правилом правого винта, перпендикулярно плоскости витка, рис.8.5. Интегрирование по длине витка дает

. (8.9)

М ожно показать, что магнитная индукция поля, созданного круговым током радиуса R, на расстоянии r₀ вдоль перпендикуляра, восстановленного из центра контура, равна

(8.10)

В силу принципа суперпозиции, для плоской катушки, состоящей из N витков, магнитная индукция в ее центре составит величину

(8.11)

При больших расстояниях от контура, т. е. при r₀ >> R из (8.10) получим

(8.12)

Лекция 9. Магнитное поле в вакууме (продолжение)

9.1. Циркуляция вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля

Н а рис.9.1. изображен прямой ток, направленный за плоскость чертежа. Охватим этот ток круговым контуром L, лежащим в плоскости чертежа. В каждой точке контура вектор направлен по касательной к нему (т.е. контур совпадает с силовой линией магнитного поля). Вычислим интеграл по замкнутому контуру который называется циркуляцией вектора индукции . В данном случае произведение

.

Интегрирование по всему круговому контуру приводит к следующему результату

.

Можно показать, что полученный результат не изменится, если ток охватывается произвольным контуром, не обязательно лежащим в плоскости чертежа. Эта формула справедлива также и для тока, текущего по проводнику произвольной формы. В силу принципа суперпозиции, если контур охватывает несколько (n) токов, то

. (9.1)

т.е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на ₀. Токи считаются положительными, если их направление совпадает с поступательным движением правого буравчика, рукоятка которого вращается по направлению обхода контура, рис.8.6. Токи, текущие в обратном направлении, считаются отрицательными.

Последнее соотношение можно также переписать в виде

, (9.2)

где j_n – проекция вектора плотности тока на направление нормали к площадке dS, S – площадь поверхности, охватываемой контуром.

Для вектора индукции магнитного поля, пронизывающего площадку dS, магнитный поток dФ_В определяется аналогично потоку dФ_Е вектора напряженности электрического поля (см. п. 2.1)

. (9.3)

где , - нормаль к площадке dS.

Магнитный поток в СИ измеряется в веберах (Вб): 1Вб = 1 Тл 1 м². Поток магнитной индукции в 1Вб – это поток, пронизывающий площадку в 1 м², расположенную перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля, индукция которого равна 1Тл.

Опыт показывает, силовые линии магнитного поля всегда замкнуты сами на себя. Это говорит о том, что в природе «магнитных зарядов» не существует. Поэтому, если взять произвольную замкнутую поверхность, то число силовых линий вектора , входящих в эту поверхность, всегда равно числу линий, выходящих через поверхность. Следовательно,

.

Это и есть теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля.

Произведем сопоставление свойств электростатического и магнитного полей.

	Электростатическое поле	Магнитное поле
Поток через замкнутую поверхность (теорема Остроградского-Гаусса)
Циркуляция

Поля, для которых циркуляция не равна нулю, например, магнитное поле, называются вихревыми или соленоидальными. Напомним, что электростатическое поле является примером потенциального поля.