2. Параметры выборочной совокупности

При выборочном обследовании сосредотачивается внимание на определенных свойствах единичной совокупности, которые пытаются измерить и зафиксировать для каждой единице попавшей в выборку. Эти свойства называют параметрами, характеристиками или просто признаками.

Численное значение, полученное для какого-либо признака для N совокупности единиц, обозначается через Y_N (y₁, y₂,…, y_N). Соответствующее значение для единиц, попавших в выборку, обозначается через y_i (i = 1, n). Заглавные буквы относятся к характеристикам параметров генеральной совокупности, а строчные – параметрам выборочной совокупности. Для арифметических и средних значений будут использоваться следующие определения:

	Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Суммарное значение	Y=
Среднее значение

Наибольший интерес при проведении выборочного обследования представляют следующие 4 характеристики совокупности:

1. Среднее значение . Например, средне число детей на одну семью.

2. Суммарное значение Y. Например, общая посевная площадь агрофирм района.

3. Отношение двух суммарных или средних значений R или R= . Например, соотношение стоимости ликвидного имущества к общей стоимости имущества у группы семей.

4. Доля единиц, попадающих в некоторую определенную группу P.

Рассмотрим оценивание первых трех характеристик.

Символ обозначает оценку значения некоторого признака для совокупности, сделанную по выборке.

Рассмотрим только наиболее простые оценки:

Характеристики	Оценка
Среднее значение для совокупности	=
суммарное значение для совокупности Y
Отношение двух совокупностей R

Входящий в расчет оценки суммарного значения для совокупности множитель называется множителем распространения (повышения, инфляции). Величина обратная ему: называется долей отбора (f - частота).

Свойства оценок

Точность какой-либо оценки, полученной по выборке, зависит от двух факторов:

• от способа, которая оценка вычисляется по данной выборке;

• от способа отбора.

Способ оценивания называется состоятельным, если оценка становится в точности равной оцениваемому значению для совокупности при n=N, то есть когда выборку составляет вся генеральная совокупность.

При простом случайном отборе и суммарное значение для совокупности N* представляют собой состоятельные оценки соответственно среднего и суммарного значения для генеральной совокупности.

Состоятельность является желательным свойством оценки.

Но применение может найти и несостоятельная оценка, в том случае если она обеспечивает удовлетворительную точность в случае, когда численность выборки n мала по сравнению с численностью генеральной совокупности N.

Существует и другое определение состоятельности для случая конечной совокупности. Его дают такие ученые, как Медоу, Хансем, Хервиц:

« Способ оценивания называется несмещенным, если среднее значение оценки взятое по всем возможным выборкам данного объема n в точности равно истинному значению для совокупности.»

Если метод называют несмещенным без всяких оговорок, то это утверждение справедливо для любой совокупности конечных значений и для любого объема выборки n.

При простом случайном отборе выборочная средняя есть несмещенная оценка среднего значения генеральной совокупности ; несмещенная оценка суммарного значения для генеральной совокупности Y равна произведению N* .

Дисперсии оценок

Дисперсия y_i для конечной совокупности обычно рассчитывается по формуле:

Для генеральной совокупности можно воспользоваться несколько иным выражением:

В таком виде формула дисперсии применяется в том случае, если теория выборочного метода рассматривается с точки зрения дисперсионного анализа. Преимущество такой записи в том, что большинство результатов принимают более простой вид, при условии, что одни и те же значения применяются постоянно и все результаты эквивалентны в любой из двух форм записи.

Стандартная ошибка выборочного среднего для простой случайной выборки определяется по формуле:

Дисперсия простого выборочного среднего находится по формуле:

Дисперсия величины оценки , которая является оценкой суммарного значения для генеральной совокупности, определяется по формуле:

Стандартную ошибку определяют по формуле:

Поправка на конечность совокупности (ПКС).

Для случайной выборки объема n из бесконечной совокупности дисперсия среднего равна .

Если совокупность конечна, то в этом случае необходимо ввести множитель .

Множители для дисперсии , для СКО называются поправками на конечные совокупности.

Если доля отбора остается низкой, то эти множители приближаются к единице и объем совокупности сам по себе не оказывает непосредственного влияния на стандартную ошибку выборочного среднего. На практике поправку на конечность совокупности можно не учитывать, если доля отбора не превышает 5%, а для некоторых целей, если достигает 10%. В том случае, если поправка не учитывается вообще, то это приводит к некоторым преувеличениям стандартной ошибки выборочного среднего .

Оценивание стандартной ошибки по выборке.

Формулы стандартных ошибок оценок средних и средних значений для генеральной совокупности применяются в основном для трех целей:

1. Сравнить точность, которая дает простой случайный отбор с точностью других способов отбора.

2. Оценить объем выборки, необходимой для предполагаемого обследования.

3. Оценить точность действительно достигнутого в проведенном выборочном обследовании.

В эти формулы входит дисперсия для генеральной совокупности S², в действительности она не известна, но ее можно оценить по данным выборки.

Для простой случайной выборки:

Для стандартных ошибок среднего и суммарного значений выборочной совокупности используется следующая формула:

Доверительные границы.

При случайном отборе предполагается, что оценки и нормально распределены относительно соответствующих значений для совокупности на основании такого предположения нижняя и верхняя доверительные границы среднего и суммарного значения для совокупности имеют следующий вид:

1. Для среднего значения

2. Для суммарного значения:

Где, t – квантиль нормального распределения соответствующей желательной доверительной вероятности.

Наиболее употребительное значение:

Доверительная вероятность, %	50	80	90	95
T	0,67	1,28	1,64	1,96

Если объем выборки n меньше 60, то значение квантилей можно взять t – распределение Стьюдента.

Оценивание отношения.

Часто величиной, которую нужно оценить по простой случайной выборке служит отношение двух переменных, значение которых изменяется от единицы к единице совокупности.

Например, при обследовании домохозяйств это может быть среднее число костюмов приходящихся на одного взрослого мужчину, средние расходы на косметику на одну женщину и так далее.

Для того чтобы оценить среднее число костюмов приходящихся на одного взрослого мужчину необходимо для каждого i-домохозяйства зарегистрировать число взрослых мужчин x_i и общее число принадлежащих им костюмов y_i. Параметром совокупности, который необходимо оценить будет являться отношение:

R=

Выборочной оценкой параметра R является

Такого рода отношения часто возникают в том случае, когда единица отбора (домохозяйство) представляет собой группу элементов (взрослых мужчин). А нас интересует среднее значение для совокупности на один элемент.

Такие отношения могут встречаться и в других случаях. Например: отношение банковских ссуд на строительство к общему объему банковских ссуд, или отношение площади, занятой под посевами пшеницы к общей площади земли агрофирмы.

Если переменные y_i и x_i наблюдаются для каждой единицы простой случайной выборки объемом n, то дисперсия приближенно составит:

R=

Оценка стандартной ошибки по выборке определяется по формуле:

Если неизвестно, то в знаменатель можно поставить его выборочную оценку .

Для более удобного расчета оценки стандартной ошибки отношения выше приведенную формулу можно записать в следующем виде: