Рассмотрим донорный полупроводник при средних температурах. Все доноры при этом ионизованы, но собственная проводимость отсутствует, уровень Ферми проходит вблизи дна зоны проводимости, но ниже
уровня
доноров.
O , TD
-
работа
выхода
O
Зона пр.
M
P
ED
TD
e 0
Eg
EF
EF
Вал.зона
Eg
электрона со дна зоны проводимости и с уровня Ферми. Первая дает минимальную энергию, которую нужно сообщить электрону, чтобы он вышел в вакуум. Эту энергию он может получить при поглощении фотона (оптическая работа выхода). Другая работа связана с явлением термоэлектронной эмиссии(термодинамическая работа выхода). Рассмотрим контакт металл-полупроводник. Для определенности, работа выхода из
металла пусть будет больше работы выхода полупроводника. За счет термоэлектронной эмиссии металл и полупроводник будут обмениваться электронами, причем поток их из полупроводника вначале будет больше, что приведет к появлению положительного заряда на полупроводнике и отрицательного на металле. Энергетические уровни металла будут смещаться вверх, а полупроводника вниз. На контакте возникает разность потенциалов, тормозящая поток электронов из полупроводника, она будет расти до тех пор пока токи не уровняются.
M
P e 0
e
kT
e
kT
(условие равенства токов). Как и
для контакта двух металлов
разность потенциалов равна разности работ выхода e 0 M
P
Однако в этом случае имеется одна особенность, связанная с малой концентрацией носителей в полупроводниках. Это приводит к тому, что электрическое поле проникает вглубь образца тем на большую глубину, чем меньше концентрация. Практически вся контактная разность потенциалов падает в поверхностном слое полупроводника.
Энергия электронов становится функцией от координаты, что приводит к искривлению энергетических зон. Следствием этого становится зависимость концентрации электронов
вдоль образца. n(x) 4
при х=0
M
E g
EF
e 0 nS n0e kiT .
3
e ( x )
e ( x )
*
2
E F
(2 kTmn )
e
n e
kT e
kT
kT
, а на самом контакте
(2 )3
0
ns n0e
e 0
kT
. Это распределение Больцмана, из которого
следует, что приконтактный слой обеднен носителями, т.е. обладает повышенным сопротивлением. Такой слой называется запорным слоем. В случае контакта металла с меньшей работой выхода, чем у донорного полупроводника получаем слой с повышенной концентрацией носителей, так называемый антизапорный слой. В этом случае
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
3.4 P-Nпереход
p-nпереход.
p-nпереходом называется структура, содержащая электронную и дырочную области в
одном образце. Для изготовления переходов берется собственный
ND , N A
полупроводник и с разных его сторон вводятся донорные и
акцепторные примеси. Один из возможных типов распределения
примесей представлен на рисунке. Однако технологически гораздо
Р-
проще создавать ассиметричный p-nпереход. Для этого берут
n-
монокристалл германия(кремния) и ему
N
N
целиком придают один тип проводимости,
Х
N
p-n
обычно вводят донорную примесь(это
переход
делается во время выращивания
монокристалла). Затем с одного из концов
p-тип n-тип
вводят акцепторную примесь в большом количестве с тем, чтобы
Nд
скомпенсировать донорную проводимость и создать дырочную
х
проводимость. Рассмотрим контакт двух полупроводников.
p-n
Рассмотрение будем вести для температурного интервала, в
переход
котором все примеси ионизованы. Тогда уровень Ферми в
донорном полупроводнике будет проходить вблизи дна зоны проводимости, а в полупроводнике “p” типа вблизи потолка валентной зоны. При условии, что все примеси ионизованы получаем большую концентрацию электронов nn в донорном полупроводнике (основные носители) и малую концентрацию дырок pn за счет тепловой генерации
(неосновные носители). Для акцепторных полупроводников имеем большую
концентрацию дырок pp и малую концентрацию np электронов. Неоднородность
концентрации носителей приводит к возникновению диффузионных потоков электронов и
дырок через p-nпереход. В свою очередь, из-за ухода электронов полупроводник n-типа
зарядится положительно за счет нескомпенсированных ионов примеси, аналогично,
полупроводник р-типа зарядится отрицательно. В области p-nперехода возникло
электрическое поле. Это поле будет тормозить переход электронов из полупроводника n
типа в полупроводник р типа, и наоборот для перехода дырок в противоположном
направлении. Дальнейшее рассмотрение проведем для симметричного “p-n“ перехода,
когда ND=NA. в условиях статического равновесия уровень Ферми одинаков для всего
U
образца. При контакте образовалось электрическое поле и
возникла разность потенциалов, равная φ0. Область между хр
и
x
xn
хn есть область “p-n“ перехода, в этой области концентрация
_ _ _ _ _ _
+ + + + + + + +
электронов и дырок меняется в зависимости от координаты
акцепторы
доноры
e
( x )
, причем на границе перехода
x
х: n(x) nne
kT
e 0
0
n(xp ) np nne
kT . Отсюда для потенциала φ0 получаем
0
k T
n
n p
. Область “p-n“ перехода обладает повышенным сопротивлением, т.е.
e
nn
образуется запорный слой. Если к переходу приложить внешнее напряжение, то оно целиком будет падать на нем. Приложим плюс внешнего напряжения на “p” полупроводник, а минус на полупроводник “n”типа. В этом случае скачок потенциала на “p-n“ переходе уменьшается, из донорного полупроводника в дырочный полупроводник
возникает дополнительный поток электронов, которые по нашим предположениям будут проникать глубоко в полупроводник “р”типа, где будут рекомбинировать с дырками, в результате чего их концентрация уменьшится до равновесного значения np. Аналогичная ситуация будет наблюдаться для дырок. В результате чисто электронный ток jn в “n” области сменяется чисто дырочным током jp в “p” jp области. В стационарном состоянии сумма обоих токов постоянна во всех точках p-n“ перехода. “ Так как рекомбинация
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
5. Магнитные свойства твердых тел
5.1. Эффект Холла
Электронные приборы работают в условиях одновременного наличия как электрических, так и магнитных полей, что приводит к изменению поведения носителей заряда, создающих электрический ток. Основными эффектами являются эффект Холла и магниторезистивный эффект. Оба эффекта вызваны тем, что на движущийся со скоростью V носитель заряда q в магнитном поле с индукцией B действует сила Лоренца Fл = q[VB].
Рассмотрим подробнее эти эффекты.
1. Напряжение Холла
Рассмотрим прямоугольный образец из проводящего материала, через поперечное сечение S=ℓ·d которого течет ток I и который пронизан однородным магнитным полем В перпендикулярным к току (рис.1). На положительный носитель заряда q, движущийся в
магнитном поле В действует сила Лоренца
Fл=q[V B],
(1)
где V – средняя скорость направленного движения носителя заряда. Эта сила перпендикулярна и к V и к В и направлена к передней грани. Соответственно, положительные носители заряда будут отклоняться от прямолинейной траектории и скапливаться на передней грани. Эта грань зарядится положительно из-за избытка положительного заряда, а задняя грань – отрицательно из-за недостатка положительного
заряда. Это приведет к возникновению поля ЕН, направленного от передней грани к задней. Это поле действует на положительный заряд с силой Fэл, направленной против силы Лоренца, а ее величина возрастает по мере накопления заряда на передней грани. Когда Fэл сравняется по величине с Fл , результирующая сила FP=Fэл+Fл=0, действующая
на движущиеся носители заряда, станет равной нулю и отклонение траектории заряда от прямолинейной прекратится, прекратится и накопление заряда на передней грани. Между передней и задней гранями установится разность потенциалов, которая называется напряжением Холла UH.
ℓ
х
Рис. 1. Эффект Холла в образце прямоугольного сечения. Знак полярности напряжения Холла соответствует отрицательным носителям заряда.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Запишем условие равенства Fэл=Fл :
qvB q
UH
.
(2)
С учетом того, что скорость носителя заряда V может быть
выражена через
плотность тока J как V=J/(qp), где p – концентрация положительных носителей заряда,
получим для напряжения Холла
UH
IB
RH
IB
(3)
d
qp d
Здесь через RH обозначена величина 1/(qp), которая носит название постоянной Холла. Как видно напряжение Холла UH прямо пропорционально току I и индукции магнитного
поля В. Из этого выражения, зная величину постоянной Холла и величину положительного заряда, можно найти концентрацию носителей заряда
Если ток создается отрицательными носителями заряда, то их скорость направлена против технического направления тока. В выражении (1) одновременно со знаком заряда меняет знак и скорость, поэтому направление силы Лоренца не изменяется. Отрицательные заряды будут также отклоняться к передней грани. Это означает, что полярность напряжения Холла изменится. Постоянная Холла будет равна
RH
,
(4)
qn
где q – абсолютная величина отрицательного заряда, n – концентрация отрицательных
носителей заряда. Как видно, знаки постоянной Холла для положительных и отрицательных носителей заряда оказываются противоположными. Таким образом, по полярности напряжения Холла можно определять тип носителей заряда.
2. Подвижность носителей заряда.
Дрейфовая скорость движения носителей заряда зависит от величины
электрического поля Е и от свойств материала
V=μE,
(5)
где μ учитывает свойства материала и называется подвижностью. Подвижность определенная в эффекте Холла называется холловской подвижностью и обозначается μH.
С учетом этого соотношения условие стационарности тока в эксперименте по эффекту Холла можно записать как
HEB UH
(6)
Так как поле, обеспечивающее ток I, равно E=Uобр/x (Uобр – падение напряжения на образце, x – толщина образца), то холловская подвижность равна
H
UHx
(7)
UобрB
С другой стороны, используя Uобр = IR, где I – ток через образец, а R = ρx/(ℓd) –
сопротивление образца, получим
H
xR H
RH
RH .
(8)
dR
Здесь ρ – удельное сопротивление образца, σ – удельная проводимость образца.
Таким образом, определить подвижность носителей заряда в образце можно зная RH и удельную проводимость σ или UH, Uобр, В и геометрические размеры образца.
3. Зависимость напряжения Холла от температуры.
При повышении температуры изменяются как концентрация свободных носителей заряда, так и их подвижность. Это приводит к зависимости UH от температуры.
Зависимость концентрации свободных носителей заряда от температуры описана в разделе «Зонная структура» и имеет вид:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
примесная
n
Eакт
NvNпр exp
(9)
kT
собственная
Eg
n
i
N
v
N
c
exp
,
(10)
kT
где Еакт – энергия активации (ионизации) примесей, Eg
– ширина запрещенной зоны, NV,
NC
– плотность энергетических состояний в валентной зоне и проводимости
соответственно, Nпр – концентрация примесей, k –постоянная Больцмана.
связано с
Уменьшение подвижности
носителей
заряда с
ростом температуры
изменением длины свободного пробега λ и средней тепловой скорости <u>
q
(11)
m*
u
Причинами рассеяния носителей заряда в полупроводниках, по-разному влияющих
на температурную зависимость, подвижности являются а) тепловые колебания атомов (ионов) кристаллической решетки и б) ионизированные примеси.
При рассеянии на тепловых колебаниях решетки (рассеяние электронов и дырок на фононах) длина свободного пробега λ одинакова для носителей заряда с разными скоростями и обратно пропорциональна Т: λ~Т-1.
Средняя скорость теплового движения
u kT
m*
Поэтому подвижность носителей заряда зависит от температуры как
~
T ,
T
T
т.е. с ростом температуры подвижность носителей заряда уменьшается ~Т-3/2
рассеяния носителей заряда на колебаниях кристаллической решетки.
(12)
(13)
за счет
μ
N1
N2<N1
μ~T-3/2
μ~T3/2
T
Рис.2. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры.
При низких температурах эти соотношения не верны, т.к. основным механизмом рассеяния носителей заряда становится рассеяние на ионизированных примесных атомах.
Из-за малой энергии ионизации большая часть примесных атомов находится в
ионизированном состоянии даже при достаточно низкой температуре. Каждый ионизированный атом создает вокруг себя кулоновское поле, ослабленное по сравнению с вакуумом в ε раз. Движущиеся носители заряда, попадая в область действия этого поля, испытывают кулоновское притяжение или отталкивание, вследствие чего искажает свою траекторию. Чем больше скорость движения заряда, тем меньше времени он проводит
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
вблизи заряженного атома, тем меньше рассеяние. Длина свободного пробега носителей растет по закону λ~<u>4 .
На рассеяние оказывает влияние и концентрация ионизированных примесей Nпр.
Чем больше количество ионов, тем меньше расстояние между ними и тем ближе к заряженному иону вынуждены подходить электроны или дырки. Поэтому длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации примесей. Таким образом, при низких температурах для подвижности получаем
~
~
u
~
T
,
(14)
u
Nпр u
Nпр
т.е. подвижность растет с повышением температуры. Существование двух механизмов рассеяния приводит к наличию максимума в зависимости подвижности μ от температуры.
4. Эффект перекомпенсации.
Если концентрация неосновных носителей такова, что они начинают заметно влиять на движение частиц в полупроводнике, находящемся в магнитном поле, то необходимо учитывать оба типа носителей. Коэффициент Холла в этом случае зависит как от концентрации носителей заряда, так и от соотношения их подвижностей и равен
RH
n n
p p
(15)
e n n p p
В р-образце концентрация электронов пренебрежимо мала n=0 и
RH
.
ep
В n-образце концентрация дырок пренебрежимо мала р=0 и
RH
en
В германии и кремнии подвижность электронов заметно превышает подвижность
дырок. Поэтому при низких температурах в р-образцах RH положителен. При повышении
температуры до состояния компенсации ( p p n n ) знак коэффициента Холла
становится отрицательным из-за большей подвижности электронов, хотя концентрация
дырок и превышает концентрацию электронов. Соответственно меняется и полярность напряжения Холла. В n-образцах изменения знака холловского напряжения нет.
5.2. Магнитосопротивление
Магниторезистивный эффект – это эффект изменения электрического сопротивления образца под действием магнитного поля. Сила Лоренца искривляет траекторию движения носителя заряда, что увеличению удельного сопротивления полупроводника в магнитном поле.
В случае образца ограниченного размера, как в рассмотренном выше примере для эффекта Холла, при установлении динамического равновесия возникшая холловская напряженность электрического поля компенсирует действие силы Лоренца и, следовательно, не происходит искривления траекторий носителей заряда, двигающихся со скоростью v. Казалось бы, что в таком случае сопротивление образца не должно
изменяться под действием магнитного поля. Однако эти рассуждения справедливы только для носителей, двигающихся со скоростью v, соответствующей средней скорости. В
действительности носители в полупроводнике распределены по скоростям. Поэтому носители со скоростью, превышающей среднюю скорость, будут смещаться к одной грани образца, т.к. на них будет действовать большая сила Лоренца. Носители, обладающие
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
скоростью, меньшей средней скорости, будут смещаться к другой грани образца, так как на них будет действовать большая сила холловской напряженности электрического поля. Таким образом, удельное сопротивление образца изменяется в магнитном поле из-за
искривления траекторий носителей заряда, движущихся со скоростями, отличными от средней скорости.
Если образец имеет неограниченные размеры, то нет накопления заряда на гранях и магниторезистивный эффект максимален.
Между столкновениями частица движется в магнитном поле не по прямой, а вклад в ток определяется лишь проекцией перемещения частицы на направление плотности тока. Это эквивалентно уменьшению времени свободного пробега τ в магнитном поле по сравнению с системой без магнитного поля τ0 :
(16)
B
e
m*
Это означает, что подвижность в поперечном магнитном поле μН также становится меньше подвижности без магнитного поля μ:
B
e
e
m*
e
B
e
B
m*
m*
m*
Соответственно удельное сопротивление
e B
m*
e
B
en
en
m*
(17)
(18)
Относительное изменение удельного сопротивления квадратично зависит от поля:
e
B
B
m*
e
B
B
(19)
m*
где K – коэффициент магнитосопротивления.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
5.3.Электронный парамагнитный резонанс
Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) связан с одним из важных свойств электронов - с их способностью ориентироваться определенным образом во внешнем
магнитном поле. Электронам присуще особого рода внутреннее движение, с которым связан момент импульса, который называется спином. Этому внутреннему моменту импульса соответствует постоянный магнитный момент, направленный противоположно спину.
В отсутствие магнитного поля направление (ориентация) магнитного момента свободного электрона в пространстве может быть любым; энергия такого электрона не зависит от ориентации его магнитного момента. Во внешнем магнитном поле, в соответствии с законами квантовой механики, ориентация магнитного момента электрона не может быть произвольной: магнитный момент может быть направлен либо по направлению магнитного поля, либо противоположно ему (рис.1а). Соответственно энергия электрона во внешнем магнитном поле зависит от индукции этого поля В и от ориентации магнитного момента электрона относительно поля, т.е. может принимать лишь два значения E1 и E2.
B
B
3
B
6
S=5
5
2
S=
2
4
S=1
3
2
1
1
1
а
б
в
Рис. 1. Пространственное квантование спинов S в магнитном поле B и расщепление энергетических уровней: а – свободного
электрона, б – парамагнитной частицы с несколькими электронами и со спином S=1, в – со спином S=5/2.
Переходы электрона из одного состояния в другое могут происходить только скачком, причем прыжок с нижнего уровня на верхний связан с поглощением, а с верхнего уровня на нижний - с выделением порции энергии (кванта), равной разности энергий E2-E1. Это и обусловливают явление ЭПР, при котором ориентированные по полю
Рис. 2. Поглощение энергии переменного электромагнитного поля свободным электроном в постоянном магнитном поле B.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Магнитные свойства электрона, входящего в состав атома или молекулы, сложнее. В этом случае электрон может двигаться лишь по вполне определенным орбитам, каждой из которых соответствует свой энергетический уровень. Может случиться так, что некоторые уровни будут иметь одинаковую энергию, это называется вырождением. Число возможных состояний с данной энергией E называется степенью вырождения. С
орбитальным движением электрона связан также магнитный момент, который векторно складывается со спиновым магнитным моментом, образуя полный магнитный момент системы.
Несмотря на то, что электроны всегда входят в состав атомов и молекул магнитный момент может наблюдаться отнюдь не во всех атомах (веществах). Это обусловлено взаимодействием атомарных электронов друг с другом. Электроны, входящие в состав атомов или молекул взаимодействуют между собой так, что их индивидуальные магнитные моменты, связанные с их орбитальным движением и спином, могут как складываться, образуя увеличенный постоянный магнитный момент, так и взаимно компенсироваться. В последнем случае вещество не будет обладать парамагнетизмом, оно будет диамагнитным. Такая компенсация возникает в атомах и ионах с целиком заполненными электронными оболочками. Внешние валентные оболочки атомов обычно заполнены частично, но они неустойчивы: в результате химических реакций они либо полностью опустошаются, либо заполняются целиком, образуя устойчивые диамагнитные ионы или молекулы. Материалы, у которых не происходит компенсации магнитных моментов, называются парамагнетиками. У подавляющего большинства материалов полный магнитный момент появляется только тогда, когда там присутствуют атомы с незаполненной внутренней электронной оболочкой. Благодаря этому они могут иметь суммарный момент количества движения и магнитный момент. Такие атомы принадлежат к "переходным элементам" периодической таблицы Менделеева, например: хром, марганец, железо, никель, кобальт, палладий и платина. Кроме того все редкоземельные элементы также имеют незаполненную внутреннюю оболочку, а следовательно, являются парамагнетиками. К парамагнетикам относятся также атомы и молекулы с нечётным числом электронов (например, атомы азота, водорода, молекулы NO) и свободные радикалы химических соединений с неспаренными электронами (например, СН3);
В магнитном поле магнитный момент системы может ориентироваться только определенным образом. Число его возможных ориентаций равно степени вырождения энергетического уровня (рис.1б, 1в). В поле все магнитные моменты стремятся повернуться и встать по полю. Для осуществления этого поворота каждой ориентации магнитного момента требуется совершить свою работу поворота. Это приводит к тому, что энергии уровней становятся различными, т.е. вырождение снимается. Другими словами, каждый энергетический уровень атома расщепляется в магнитном поле на магнитные подуровни - эффект Зеемана.
В постоянном магнитном поле B энергетический уровень 2S+1LJ расщепляется на 2J+1 равноотстоящих подуровней, причем величина сдвига уровня зависит от квантовых
чисел L, S и J данного уровня:
ΔE =∙-μJB∙B
(1)
где μJB - проекция магнитного момента на направление поля, равная
μJB = -g∙μB∙mJ
(2)
где μB — магнетон Бора, mJ =
-J, -(J-1), …, J-1, J
- магнитное квантовое число, а
g 1
J (J 1) S (S 1) L(L 1)
- так называемый g-фактор Ланде электрона; J, L и S -
2J (J 1)
квантовые числа. Для магнитного квантового числа mJ
имеется правило отбора, согласно
которому возможны только переходы, при которых mJ либо остается неизменным, либо меняется на единицу mJ = 0, ±1.
В простейшем случае свободного электрона L=0, J=S=1/2, mJ = ±1/2, g =2,00 и
энергия E свободного электрона может принимать два значения:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
E1 = -g∙μB∙B/2∙
и
E2 = g∙μB∙B/2
(3)
Переходы между магнитными подуровнями возможны, когда квант
электромагнитной энергии ћω равен разности энергий между ними:
ћω = E2-E1= gμBB
(4)
Переход электрона с одного подуровня на другой происходит с одновременным изменением направления спина:
mS = ±1.
(5)
Для частиц, содержащих несколько электронов, S может принимать любое кратное 1/2 значение (рис. 1б, 1в), а величина g-фактора определяется суммарным значением
спинового и орбитального моментов количества движения электрона и может в несколько раз отличаться от значения для свободного электрона.
На практике имеют дело с макроскопическими образцами, содержащими огромное количество парамагнитных атомов или молекул. В таких системах действуют статистические законы, в соответствии с которыми большая часть парамагнитных частиц находится в состоянии с минимальной энергией. В соответствии с распределением Больцмана
N2
B gB
e kT
e kT ,
(6)
N1
населённость нижнего уровня N1 больше, чем верхнего N2. Это означает, что большинство
парамагнитных атомов или молекул ориентируют свои магнитные моменты по направлению магнитного поля. Несколько меньшее число атомов располагается так, что их магнитные моменты составляют с внешним полем некоторый угол, и меньше всего атомов имеет максимальную энергию, соответствующую направлению магнитных моментов атомов против поля.
Такое распределение частиц по уровням в определенном смысле обладает свойствами устойчивого равновесия, известного в обычной механике: если каким-либо
способом изменить это распределение, то через некоторое время оно снова вернется в равновесное состояние. При равновесном распределении, когда большинство частиц обладает минимальной энергией, поглощение электромагнитной энергии всегда должно преобладать над ее излучением, что и наблюдается в ЭПР. Если каким-либо образом создать инверсию населённостей N2 N1 , то под действием электромагнитного поля
система будет излучать энергию.
Взаимодействие электронов с электромагнитным внутрикристаллическим полем приводит для S≥1 к расщеплению уровней энергии с разными значениями |MS| и без магнитного поля (при B=0). В результате этого в спектре ЭПР появляется несколько
линий поглощения (тонкая структура; рис. 3а).
Взаимодействие электронов с магнитным моментом ядра парамагнитного атома приводит к появлению в спектре ЭПР сверхтонкой структуры. Рассмотрим атом, в котором неспаренный электрон взаимодействует с одним протоном (спин протона I=1/2).
Во внешнем магнитном поле B, так же как и для электрона, будут реализовываться две ориентации магнитного момента протона: по полю MI = 1/2 и против поля MI=-1/2.
Магнитный момент протона создает в месте нахождения электрона дополнительное магнитное поле ΔBI. Поэтому при напряженности внешнего магнитного поля B0 неспаренные электроны тех атомов, у которых MI = 1/2, окажутся в суммарном поле B = B0+ΔBI. В атомах, у которых MI = -1/2, величина суммарного поля равна B = B0-ΔBI. В магнитном поле энергии ядер в состояниях с MI = 1/2 и MI = -1/2 практически не
различаются, поэтому число ядер в этих состояниях практически одинаково. Отсюда и число электронов, находящихся в дополнительных полях +ΔBI и -ΔBIтакже одинаково.
Таким образом, каждый энергетический уровень неспаренного электрона расщепится на
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
два равнозаселенных уровня (рис. 3б). Правило отбора при электронных переходах ΔMI=0. Это значит, что за время электронного перехода не происходит изменения
ориентации ядерного спина.
mj=
MI=-
E
MI=+
mj=
mj=
ΔMI=
Δm
mj=
j=
mj=-
MI=+
MI=-
B
B
а
б
Рис. 3. Схема расщепления энергетических уровней электронов: а – при взаимодействии с внутрикристаллическим полем, б – с учетом взаимодействия электрона с ядром
Из рис. 3б видно, что в результате расщепления уровней вместо одной линии поглощения появляются две при напряженности внешнего магнитного поля B = B0+ΔBI и B = B0-ΔBI. Расстояние между линиями в спектре называется сверхтонким расщеплением,
его величина зависит от распределения электронной плотности. Таким образом, взаимодействие электронов парамагнитной частицы с магнитными моментами ядер расщепляет линию ЭПР.
Изучение тонкой и сверхтонкой структур дает возможность определить место нахождения неспаренных электронов.
Разность энергий между магнитными подуровнями даже в самых сильных полях меньше, чем разность энергий между энергетическими уровнями, относящимися к различным орбитам электрона в атоме. Поэтому в ЭПР используют радиоволны, соответствующие частотам 109-1011Гц (СВЧ радиоволны) и длинам волн от нескольких
дециметров до долей сантиметров.
1.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
6. СТРОЕНИЕ АТОМА
Решая уравнение Шредингера для электрона в кулоновской яме ядра, показывает, чтоэлектрон в атоме может иметь следующие энергии:
En
m Z 2e4
1
e
,
(6.1)
2 4 0
2 2
n2
где me – масса электрона, Z – атомный номер, n = 1, 2, 3… – главное квантовое число. Наиболее вероятное расстояние электрона в состоянии n от ядра:
rn
4 0 2
n2 .
(6.2)
2
me Ze
При n = 1 и Z = 1 это расстояние совпадает с радиусом первой боровской орбиты.
Модуль момента импульса электрона в атоме может принимать значения
.
L
1
(6. 3)
Число ℓ = 0, 1, 2,…n – 1.. называется орбитальным квантовым числом. Проекция момента импульса на любую ось (например, z) тоже может принимать лишь определенные значения
L z m ,
(6.4)
где mℓ = 0, ±1, ±2, …, ±ℓ и называется магнитным квантовым числом. Магнитное квантовое число
определяет также проекцию магнитного момента, создаваемого движением электрона вокруг ядра:
z B m .
(6.5)
Модуль магнитного момента электрона
B
,
1
(6.6)
где B e 2me = 0,927∙10–23Дж/Тл – магнетон Бора. Отношение модулей орбитальных магнитного и
механического моментов называется гиромагнитным отношенеим
L
z
L z B
e 2me .
(6.7)
Электрон обладает также собственным механическим моментом импульса, равным
,
Ls
s s 1
(6.8)
где s = 1/2–спиновое квантовое число. Соответствующий ему магнитный момент также квантован
3
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
s
2 B
.
j
s s 1
(6.9)
Ls
Проекции спинового момента импульса и магнитного момента на
Lℓ
направление z внешнего магнитного поля равны
μℓ
Lsz ms и
sz 2 Bms ,
(6.10)
μj
μs
μΣ
Рис.6.1
орбитальных моментов
где ms – спиновое квантовое число, может принимать значения ±1/2.
Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов оказывается в два раза больше, чем для
s
Ls
sz
Lsz 2 B
e me .
(6.11)
Орбитальный Lℓ и спиновый Ls моменты импульса электрона складываются и дают полный момент
импульса электрона J (рис.6.1). Он квантуется так же
,
j
j j 1
(6.12)
где j
s
1 2
– внутреннее квантовое число. Проекция
полного момента
на направление
внешнего магнитного поля
jz
m j ,
(6.13)
где mj может принимать 2j + 1 значение от –jдо j. Для описания состояния электрона в атоме используют четыре квантовых числа: n, ℓ, mℓ и ms. или n, ℓ, j, mj. Обычно для орбитального квантового
числа используют буквенные обозначения:
ℓ
0
1
2
3
4
Обозначение
s
p
d
f
g
При втором способе описания термов используют следующие обозначения: состояния с ℓ = 0, 1, 2, 3,… обозначаются соответственно s, p, d, f, … Справа внизу указывается значение квантового числа j, а слева наверху величина 2s + 1 – мультиплетность терма. Например, 3p0 означает, что ℓ = 1, s = 1, j = 0.
Из-за разных гиромагнитных отношений для спинового и орбитального моментов суммарный
магнитный момент оказывается непараллельным суммарному механическому моменту. Поэтому вводится специальный коэффициент gЛ – фактор Ланде, который есть не что иное, как коэффициент пропорциональности между j и μj:
j
gЛ B j,
(6.14)
gЛ 1
j j 1 s s 1 1
.
(6.15)
2 j j 1
4
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Чтобы описать структуру сложного атома, надо знать состояния всех его электронов. В легких и средних атомах орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент
L L 1 L 2 L 3 L i ,
(6.16)
i
а спиновые – в суммарный спиновый:
S LSI
(6.17)
I
и полный момент
J L S.
(6.18)
В тяжелых атомах полный момент равен сумме полных моментов отдельных электронов
J ji ,
(6.19)
i
где ji L i L si .
Магнитный момент атома
J
gЛ
B .
J J 1
(6.20)
Состояния атомов обозначаются так же, как это делается для отдельных электронов, но большими буквами. Например, 3P0 означает, что L = 1, S = 1, J = 0.
Порядок заполнения энергетических уровней в атоме определяется эмпирическими правилами Клечковского. Первое правило Клечковского: сначала будут заполняться уровни с наименьшей суммой квантовых чисел n + ℓ. Второе правило Клечковского: если два уровня имеют одинаковую сумму квантовых чисел n + ℓ, то первым будет заполняться уровень с меньшим n.
Электроны подчиняются принципу Паули: каждый энергетический уровень может быть заселен не более чем двумя электронами с противоположными спинами. Энергии некоторых состояний могут совпадать, т.е. может иметь место вырождение. В этом случае электроны заселяют состояния таким образом, чтобы спин S атома был максимален и, при этом по возможности максимальным было значение
L – правило Гунда.
При попадании атома во внешнее магнитное поле В с полем взаимодействуют как орбитальный, так и спиновый магнитные моменты электронов. Кроме того, эти моменты взаимодействуют между собой (спин-орбитальное взаимодействие). В случае слабого поля взаимодействие магнитных моментов с внешним полем меньше, чем спин-орбитальное взаимодействие, и атом приобретает дополнительную
энергию
E B gЛ B mJ B ,
(6.21)
которая зависит от квантового числа mJ, т.е. снимается вырождение по mJ.
5
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
В сильном магнитном поле спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь, связь между L и
S разрывается, и они проецируются на направление поля независимо друг от друга. В этом случае
E B B mL 2mS .
(6.22)
Примеры решения задач
1. Определите максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых данным главным квантовым числом n.
Решение. Каждому квантовому числу n соответствует n различных значений орбитального квантового числа ℓ: ℓ = 0, 1, 2,…, (n – 1). В свою очередь каждому значению ℓ соответствуют 2ℓ + 1 значения магнитного квантового числа: mℓ = 0, ±1, ±2,…, ±ℓ. На каждом уровне mℓ могут быть 2 электрона со спиновыми квантовыми числами ms = ±1/2. Полное количество электронов на оболочке n
n 1
равно N 2 2 1 2n2 .
0
2.Электрон в атоме находится в d-состоянии. Определите: а) орбитальный момент импульса
электрона; б) максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.
Решение. Электрон в d-состоянии описывается орбитальным квантовым числом ℓ = 2. Модуль
орбитального момента при этом равен
.
Проекция
момента импульса на
L
1
6
направление внешнего магнитного поля может принимать значения
L z
m ,
соответствующие
различным величинам магнитного квантового числа
mℓ: mℓ = 0,
±1,
±2.
Максимальная проекция
орбитального момента соответствует максимальному значению mℓ = 2: L z
2 .
3. Найти максимально возможный
полный
механический
момент и
соответствующее
спектральное обозначение терма атома натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое число n = 4.
Решение. Атом натрия имеет один электрон на внешней оболочке и спин этого электрона равен 1/2. Поэтому мультиплетность равна 2S + 1 = 2. Механический момент будет максимальным, если максимальным будет и орбитальное квантовое число. Данному n = 4 соответствует максимальное
значение L = 3.
Внутреннее квантовое
число
J = L + S = 3 + 1/2 = 7/2.
Максимально
возможный
механический
момент
будет
равен
2 .
Обозначение
J
J J 1
7 9 2 2
63
соответствующего терма 2F7/2.
4. Найти полное расщепление терма 2D3/2
в магнитном поле В = 2
Тл,
считая его а) слабым,
б) сильным полем.
Решение. Состояние 2D3/2 означает, что J = 3/2, L = 2, S = 1/2. Фактор Ланде
6
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
gЛ 1
3 2 5 2 1 2 3 2 2 3
4
.
2 3 2 5 2
5
а) Дополнительная энергия этого состояния в слабом магнитном поле E
4
e B
m
. Квантовое
J
5 2me
число mJ может принимать 2J + 1 значений от –Jдо J. Полное расщепление соответствует разности
энергий уровней с mJ = –3/2 и mJ = 3/2 2 E 2
4
e B
3
. Подставляя численные данные, получим
5 2me 2
Δε = 276,9 10–6эВ.
б) Энергетический сдвиг в сильном магнитном поле E = μBB(mL + 2mS). Квантовые числа mL и mS могут иметь значения от –2 до 2 и от –1/2 до 1/2 соответственно. Величина (mL + 2mS) будет иметь
максимальное значение 3 и минимальное значение –3. Максимальное расщепление будет равно
2 E 2 e B 3 . Подставляя численные значения, получим Δε = 692,3 10–6эВ.
2me
Задачи для самостоятельного решения
1. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 3. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) ms = –1/2; б) mℓ = 0;
в) mℓ = –1, ms = 1/2.
2. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 4. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) mℓ = –3; б) ms = 1/2, mℓ = 2; в) ms = –1/2,mℓ = 1.
3. Сколько электронов в атоме могут иметь одинаковые квантовые числа: а) n, ℓ, mℓ, ms; б) n, ℓ,
mℓ.
4.Валентный электрон атома Na находится в состоянии с n = 3, имея при этом максимально
возможный полный механический момент. Каков его магнитный момент в этом состоянии?
5.Определите во сколько раз орбитальный момент импульса Lℓ электрона, находящегося в f- состоянии, больше, чем для электрона в р-состоянии.
6.1s электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией Е = 12,1 эВ, перешел в возбужденное
состояние с максимально возможным орбитальным квантовым числом. Определите изменение момента импульса Lℓ орбитального движения электрона.
7. Определите суммарное максимальное число s-,p-,d-,f- и g-электронов, которые могут находиться на N- и O-оболочках атома.
8. Найти кратность вырождения 2p, 3d и 4f состояний с максимально возможными полными
механическими моментами.
7
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
9.Написать электронную формулу элемента №79 и объяснить порядок заполнения уровней.
10.Написать электронную формулу элемента № 47 и объяснить порядок заполнения уровней.
11.У какого элемента заполнены K-,L- и M-оболочки и 4s-подоболочка, а также наполовину заполнена 4p-подоболочка?
12.Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит: а) три d-электронов, б) семь d-электронов.
13.Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит: а) три p-электронов, б) четыре p-электронов.
14.Определить спиновый механический момент атома в состоянии D2, если максимальное значение проекции магнитного момента в этом состоянии равно 4μВ.
15.Найти с помощью правила Гунда магнитный момент основного состояния атома, незамкнутая подоболочка которого заполнена ровно наполовину пятью электронами.
16.Возбужденный атом имеет электронную конфигурацию 1s22s22p3d и находится при этом в
состоянии с максимально возможным полным механическим моментом. Найти магнитный момент атома в этом состоянии.
17. Найти полный механический момент атома в состоянии с S = 3/2 и L = 2, если
известно, что магнитный момент его равен 0.
18.Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях 4P и 5D.
19.Сколько и какие значения квантового числа J может иметь атом в состоянии с квантовыми числами S и L, равными соответственно а) 2 и 3; б) 3 и 3; в) 5/2 и 2
20.На сколько подуровней расщепится в слабом магнитном поле терм: а) 3P0; б) 2F5/2; в) 4D1/2?
Привести схему уровней.
21.Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 0,25 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) 1P; б) 3F4. Привести схему уровней.
22.Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 1,0 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) 1S; б) 2D5/2. Привести схему уровней.
23.Определить максимальную энергию Е магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии 1D с магнитным полем, индукция которого а) B = 1 Тл (слабое поле), б) В = 50 Тл (сильное
поле). Привести схемы уровней.
24.Атом находится в сильном магнитном поле с индукцией В = 5 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) 1P; б) 3F4. Привести схему уровней.
25.Написать спектральное обозначение терма, кратность вырождения которого равна 7, а квантовые числа L и S связаны соотношением L = 3S.
8
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
9. СТАТИСТИКА КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ
Квантовые частицы в зависимости от спина s делятся на бозоны (целый спин, s = 1,2,…, фотоны, фононы) и фермионы (полуцелый спин, s = 1/2, 3/2,…, электроны). Для бозонов справедлив закон распределения Бозе-Эйнштейна: вероятность заполнения уровня с энергией Е равна
f (E)
1
,
(9.1)
exp E EF
k T 1
где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура; EF – уровень Ферми, это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5.
Для фермионов справедлив закон распределения Ферми-Дирака:
f (E)
1
.
(9.2)
exp E EF
k T 1
При Т = 0 К функция Ферми (9.2) обладает следующими свойствами: f(E) = 1,
если E < EF
и f(E) = 0,
если E > EF. (рис.9.1). Если exp E EF kT 1 , то единицей в знаменателе можно пренебречь, и оба
распределения переходят в
f E A exp E kT .
(9.3)
Это так называемое распределение Максвелла-Больцмана. Температура, ниже которой квантовые эффекты становятся существенными, называется температурой вырождения Тв.
Типичным представителем фермионов является совокупность электронов проводимости в металле. Энергия Ферми не зависит от объема металла, а определяется только концентрацией свободных электронов. При Т = 0 К положение уровня Ферми в металле
2
2 3
EF
3 2n
,
(9.4)
2mn
где mn – масса электрона в металле ("эффективная" масса), n-концентрация электронов.
Интервал между соседними уровнями энергии
свободных
f(E)
электронов в металле
kT
1
T = 0
E
2 3
.
(9.5)
4 V
2mn 3 2
0,5
T > 0
E
0
Распределение свободных электронов по энергиям в металле
EF
E
Рис.9.1
определяется не только вероятностью заполнения уровней f(E), но и
9
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
числом состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объема (плотностью состояний) N(E):
dn(E) N (E) f (E)dE .
(9.6)
где dn – число электронов, приходящихся на энергетический интервал от E до E + dE,
N (E) 4 2m
2 3 2
E .
(9.7)
n
При Т ≠ 0 К
dn E
1
2mn 3 2
E dE
.
(9.8)
2 2
E EF
2
1
exp
k T
Вблизи Т = 0 К:
dn(E)
1
2mn 3 2
E dE .
(9.9)
2 2
2
Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным состояниям:
EF
8 2mn 3 2
3 2
n
N (E) f (E)dE
EF
.
(9.10)
2
0
3
Электронный газ в металлах является вырожденным, т.е. подчиняется статистике Ферми-Дирака, вплоть до температур ~104 К. Вследствие этого в процессе электропроводности могут принимать
участие не все свободные электроны, а только небольшая их часть, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Ускоряясь электрическим полем на длине свободного пробега, эти электроны приобретают добавочную скорость направленного движения:
VF F eE mn eE mn u F ,
(9.11)
где τF – время свободного пробега; λ – длина свободного пробега; uF – тепловая скорость быстрых электронов, обладающих энергией, близкой к EF. С учетом этого удельная электрическая
проводимость металла:
e2n
e2n2 3
8 1 3
.
(9.12)
mnuF
h
3
В большинстве случаев можно считать, что эффективная масса электронов в металле равна массе свободного электрона mn = me.
10
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Примеры решения задач
1. Считая, что квантовые свойства "свободных" электронов проводимости в металле становятся
существенными в том случае, когда их дебройлевская длина волны становится сравнимой с постоянной решетки а, получить оценку температуры вырождения электронного газа в кристалле с концентрацией
атомов n.
Решение. Длина волны де Бройля определяется выражением 2 p . Учитывая тепловую
энергию kT и связь импульса с энергией p
2me E
2mekT , получим 2 2mekTв . Считая
λ ~ a, имеем T 2 2 2
m ka2
. Учитывая, что постоянная кристаллической решетки а и концентрация
в
e
n электронов
в простом металле связаны соотношением a ~ (V/N)1/3 ~ n1/3, окончательно имеем
T ~ 2 2 2n2 3
m k .
в
e
2. Найти среднюю энергию свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К.
Решение. При Т ≈ 0 К уровень Ферми характеризует максимальную энергию электронов в
металле. Распределение электронов по энергиям дается выражением (9.6). В соответствии с распределением Ферми-Дирака (рис.9.1) при E < EF функция f(E) = 1, а при E > EF функция f(E) = 0. Для
определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию n:
E
E
E
E
1
FEdn(E)
1
FEN (E) f E dE
1
FEN E dE .
n
n
n
0
0
0
Учитывая, (9.7) и (9.10), имеем
3
2
3 2
1
EF
2m
3 2
3
EF
3E
F
n
.
E
E3 2
E dE 2E3 2 E E dE
8
2m
E4
2
5
n
F
0
F
0
3. Рассчитать положение
уровня
Ферми
и
среднее
энергетическое расстояние между
разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в 1 см3 серебра при температуре вблизи
абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра. Плотность серебра ρ = 10,49 103 кг/м3.
Решение. Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов n N Am N A , где
AV A
NA –число Авогадро; А – атомная (или молекулярная) масса; m – масса образца; V – объем образца; ρ –
h2
3N A 2 3
плотность материала. Отсюда энергия Ферми
EF
. Подставляя численные значения
A
8m
величин, получаем EF = 8,8 10–19Дж = 5,5 эВ. Среднее энергетическое расстояние между разрешенными уровнями E EF N , где N – число уровней, заполненных электронами. Концентрация электронов
11
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
связана с энергией Ферми выражением (9.10)
n
8
2mn 3 2
3 2
. Все уровни, лежащие ниже уровня
EF
3
h2
Ферми, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом уровне находятся два электрона. Отсюда следует, что
E
EF
3EF
3h3
= 0,188 10–21эВ.
nV 2
4 V 2mn 3 2
3 2
2mn
3 2
EF
V 4
EF
h2
4. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при Т = 300 К, если ее удельное
сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм∙м.
Решение. Удельное сопротивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов λ соотношением
3 1 3
h
.
e2n2 3
8
Концентрация свободных электронов в меди n mN A , где m/V = 8,92 103 кг/м3 – плотность кристалла;
VA
NA – число Авогадро; А – атомный (молекулярный) вес. Используя численные данные, получим n = 8,45 1028 м–3. Отсюда следует, что длина свободного пробега 38 13 he2n23 . Подставляя численные данные, получим λ = 3,89 10–8м.
5. Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние L = 1 км по медному
проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОм м, а разность потенциалов на концах проводника U = 220 В. За какое время электрон пролетит это же расстояние, двигаясь без соударений,
при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?
Решение. Из закона Ома следует, что удельная проводимость enV E . Отсюда V = E/(ρen) = U/(ρenL). Используя значение концентрации, полученное в предыдущем примере, получим среднюю скорость дрейфа электронов V = 9,6 10–4м/с. Время дрейфа электрона по проводу t = L/V = 106 c. При отсутствии столкновений с узлами кристаллической решетки электрон движется
равноускоренно (с ускорением а) и время пролета равно tпр 2La 2L2meU . Передача энергии
вдоль проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, получим для времени передачи сигнала tc = L/c = 3,33 10–6с.
Задачи для самостоятельного решения
12
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
1.Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 6∙103 К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии с n = 2,
ких числу в основном состоянии(n = 1). Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n составляет gn = 2n2.
2.Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 6∙103 К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии n = 3,
ких числу в состоянии n = 2. Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n
составляет gn = 2n2.
3.Так называемая "холодная плазма" характеризуется температурой Т = 104 К и концентрацией частиц n = 1018 м–3. Оценить температуру вырождения протонной составляющей водородной плазмы.
Классической или квантовой статистикой описывается состояние частиц в этой плазме?
4.Какому условию должна удовлетворять концентрация n заряженных частиц в плазме, для того чтобы последняя могла считаться идеальным газом? Удовлетворяет ли условию идеальности так называемая "горячая плазма"?
5.Оценить температуру вырождения электронного газа в меди.
6.Оценить температуру вырождения для газа электронов с n = 1018 м–3.
7.Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, расположенного на 10kT выше уровня Ферми.
8.Определить как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от 300 до 1000 К.
9. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией E = 0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1 %.
10. Вычислить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов в медном
проводнике, где энергия Ферми составляет 7 эВ.
11. Энергия Ферми в кристалле серебра составляет 5,5 эВ. Найти максимальную и среднюю скорости электронов проводимости при Т ≈ 0 К. При расчете принять эффективную массу электронов
равной массе свободного электрона.
12.Найти максимальную и среднюю скорости теплового движения свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К, если концентрация электронов равна 8,5∙1018 м–3.
13.Положению уровня Ферми для алюминия при Т ≈ 0 К соответствует энергия 11,7 эВ.
Рассчитать число свободных электронов, приходящихся на один атом. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободного электрона.
14.Вычислите, какая часть электронов проводимости в металле при Т ≈ 0 К имеет кинетическую энергию, большую EF/2.
15.Как изменится интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле, если объем кристалла уменьшить в 10 раз?
13
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
16.Вычислить удельное сопротивление проводника, имеющего плотность 970 кг/м3 и
молекулярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряженностью 0,1 В/м составляет 5∙10–4м/с, а на каждый атом кристаллической
решетки приходится один электрон.
17.В металлическом проводнике с площадью поперечного сечения 10–2мм2 и сопротивлением 10 Ом концентрация свободных электронов равна 8,5∙1028 м–3. Определить среднюю скорость дрейфа
электронов при напряжении 0,1 В.
18.К медной проволоке длиной 6 м и диаметром 0,56 мм приложено напряжение 0,1 В. Сколько электронов пройдет через поперечное сечение проводника за 10 с, если удельное сопротивление меди равно 0,017 мкОм∙м?
19.Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T = 0 K. Энергию
Ферми принять равной 1 эВ.
20.Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число N N
свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.
21.Удельная проводимость металла равна 6∙103 (Ом∙м)–1. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация n свободных электронов равна 1023 м–3. Среднюю скорость u хаотического движения электронов принять равной 106 м/с.
22.Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность металла? Каков характер этого изменения?
23.Чему равна сумма средних чисел заполнения свободными электронами в металле уровней с энергией большей и меньшей энергии Ферми на одну и ту же величину Δε.
24.Объем металла равен 1 см3. Вычислить интервал (в эВ) между соседними уровнями энергии
свободных электронов для значений энергии Е, равных: а) 0,1 эВ, б) 1 эВ, в) 3 эВ, г) 5 эВ.
25.Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, определить среднюю кинетическую энергию свободных электронов при абсолютном нуле. Какая часть свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую среднюю энергию?
10. ФОНОНЫ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Теплоемкость твердых тел определяется энергией тепловых колебаний частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки. В классической теории эти частицы рассматриваются как независимые частицы, колеблющиеся с одинаковой частотой. Это приводит к независимости молярной теплоемкости от температуры и природы вещества – правилу Дюлонга и Пти:
СV = 3R ≈ 25 Дж/(моль∙К).
(10.1)
14
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Однако экспериментально эта зависимость не подтверждается. Качественное и количественное согласие с экспериментом достигается, если рассматривать кристалл как N атомов, упруго связанных друг с другом и обладающих 3N степенями свободы. Тогда в кристалле могут существовать 3N типов
простейших коллективных колебаний – мод с энергиями
i ni
1 2 ,
(10.2)
где ni = 0,1,2…3N. Средняя энергия такого осциллятора
.
(10.3)
2
exp k T 1
Каждой моде можно сопоставить квазичастицу – фонон, обладающую соответствующей
энергией и квазиимпульсом:
i h
и
p k Vзв ,
(10.4)
где Vзв – скорость звука в кристалле; в случае, когда скорости поперечных волн V и продольных V║ волн
не равны, используют среднюю скорость. Фононы подчиняются статистике Максвелла – Больцмана. Число фононов с частотами в интервале от ν до ν + dν
dN
12 2d
1
.
(10.5)
exp h k T 1
V3
зв
Среднее число фононов с энергией εi в кристалле
Ni
exp i
1
k T 1
.
(10.6)
Энергия кристаллической решетки объема V
3
V
max
3d
E
,
(10.7)
2
3
kT
2
Vзв
0
e
1
где ωmax – максимальная (дебаевская) частота колебаний, равная
D зв
3 6 2n ,
(10.8)
n – количество частиц в единице объема (концентрация). Для простых кубических решеток n = 1/a3; а –
1. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К).
Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.
Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах T << θD (квантовая область, θD – характеристическая температура Дебая), пропорциональна кубу
термодинамической температуры, CV 12 4 R5 T D 3 , где CV – молярная изохорная теплоемкость; R – газовая постоянная. При высоких температурах T >> θD (классическая область), теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти С = 3R = 25 Дж/(моль∙К). Поскольку при Т1 = 4 К теплоемкость аргона С1 = 0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 25 Дж/(моль∙К), выполняется
закон Т3 Дебая, согласно которому C1 12 4R5 T1 D 3 и C2 12 4R5 T2 D 3 . Отсюда C2/C1 = (T2/T1)3 или C2 = C1(T2/T1)3. Подставляя числовые данные, получим С2 = 0,022 Дж/(моль∙К).
2. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний
кристаллической решетки. Сколько фононов такой частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К?
Решение. Дебаевская температура θD = hνmax/k, где νmax – максимальная частота колебаний кристаллической решетки; h – постоянная Планка; k – постоянная Больцмана. Отсюда найдем νmax = kθD/h.
Подставляя численные значения,
получаем νmax = 3,12∙1012 Гц. Среднее число фононов с энергией εi:
Ni
exp i
1
, где
Т
– термодинамическая
температура кристалла. Энергия
фонона,
k T 1
соответствующая частоте
колебаний νmax, равна
εi = hνmax = kθD. Учитывая это,
находим
Ni
exp D
1
1,54 .
T 1
3. Одинаковые массы свинца 207Pb и кремния 28Si охлаждают при помощи жидкого гелия (температура кипения при нормальном давлении равна 4,2 К) от температуры Т1 = 20 К до Т2 = 4,2 К.
Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны θD(Pb) = 95 K, θD(Si) = 645 K соответственно.
16
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Решение. Так как начальная температура много меньше температур Дебая обоих веществ, то справедливо низкотемпературное приближение. В этой области температур энергии хватает только на возбуждение акустических фононов. Поэтому в выражении для энергии кристалла верхний предел в интеграле можно заменить на ∞
3 k 4T 4
x3dx
2k 4
4
E
T
,
2
3
2
3
x
1
10
3
3
Vзв 0 e
Vзв
где Vзв – скорость звука в кристалле, k – постоянная Больцмана. Теплота, отбираемая при
2k 4
T 4
2k 4
охлаждении у тел, равна Q
T 4
T 4
. Используя
3
6 2n , где n –
D
зв
10 3Vзв3
1
2
10 3Vзв3
1
количество атомов в единице объема (n = 1/a3; а – постоянная решетки) и θD = ћωD/k, это выражение
3 4 N T 3
можно записать в виде
Q
k T . Так как масса кристалла M = NA, где А – атомная масса, то
1.Вычислить молярные теплоемкости алмаза и цезия при температуре 200 К. Температура Дебая для алмаза и цезия соответственно равна 1860 и 38 К.
2.Вычислить удельную теплоемкость рубидия при температурах 3 и 300 К. Температура Дебая для рубидия 56 К.
3.Молярная теплоемкость селена при температуре 5 К равна 0,333 Дж/(моль∙К). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру селена.
4.Удельная теплоемкость молибдена при температуре 25 К равна 3,47 Дж/(кг∙К). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру молибдена.
5.Найти количество теплоты, необходимое для нагревания 50 г железа от 10 до 20 К. Температура Дебая для железа равна 470 К.
6.Какое количество теплоты необходимо для нагревания 1 моля никеля от 5 до 15 К? Температура Дебая для никеля равна 450 К.
7.Определите энергию U0 нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона
(θD = 92 К).
8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди с дебаевской температурой θD = 330 К.
17
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
9.Найти отношение среднего числа фононов в кристалле, имеющих энергию в два раза меньше максимальной, к среднему числу фононов с максимальной энергией при температуре 300 К. Дебаевская температура кристалла равна 150 К.
10.Определите в электронвольтах энергию Е фонона, который может возбуждаться в кристалле NaCl, характеризуемом температурой Дебая θD = 320 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой
энергией?
11. При давлении р = 1013∙102 Па аргон затвердевает при T = 84 К, θD(Ar) = 92 К. Экспериментально установлено, что при Т1 = 4 К молярная теплоемкость аргона С1 = 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной теплоемкости С2 при Т2 = 2 К.
12.Атомная масса серебра Ar = 107,9, плотность ρ = 10,5 г/см3. Исходя из этих данных, оценить максимальное значение pm импульса фонона в серебре.
13.Какое число фононов максимальной частоты возбуждается в среднем при температуре
Т= 400 К в кристалле, дебаевская температура которого θD = 200 К?
14.Определить θD для Be, если концентрация равна n = 1,23 1029 м–3,V = 8830 м/с и V║ = 12550
м/с.
15.Определить θD для Ag, если концентрация равна n = 0,586 1029 м–3,V = 1590 м/с и V║ = 3600
м/с.
16.Определить θD для Pb, если концентрация равна n = 0,328 1029 м–3,V = 700 м/с и V║ = 2160
м/с.
17.Определить температуру Дебая для Al, если V = 3130 м/с и V║ = 6400 м/с.
18.Приняв для Ag θD = 208 К определить максимальное значение энергии фонона и среднее количество фононов с этой энергией при Т = 300 К.
19. В кристалле NaCl при температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема CV = 830 10–
4Дж/(м3∙К). Оценить скорость звука в кристалле и его θD. Постоянная решетки NaCl равна а = 0,3 нм.
20.Определить среднюю скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого θD = 396 К
21.Найти максимальную частоту ωmax собственных колебаний в железе, если при Т = 20 К его удельная теплоемкость cV = 2,7 мДж/(кг∙К) и Т << θD.
22.Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль∙К)?
23.При нагревании кристалла меди массы m = 25 г от Т1 = 10 К до Т2 = 20 К ему было сообщено количество тепла Q = 0,80 Дж. Найти θD для меди, если θD >> T1 и T2.
24. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние
а= 0,3 нм и скорость распространения акустических колебаний Vзв = 4 км/с.
25.Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.
18
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
11. ПОЛУПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ
Неметаллы отличаются от проводников наличием зоны запрещенных энергий Eg для электронов.
Структуры энергетических зон собственного полупроводника приведена на рис.11.1 а. Состояния, лежащие выше запрещенной зоны, называются зоной проводимости СВ и при Т=0 К пусты. Состояния,
а
б
в
лежащие ниже запрещенной зоны,
Ec
называются валентной зоной VB и
Ec
EF
Ec
при T=0 K
полностью заполнены.
Ed
Распределение
электронов
по
EF
Eg
Ea
EF
энергиям
в
общем
случае
EV
EV
EV
подчиняется
статистике
Ферми-
Рис.11.1
Дирака. Однако
при комнатных
температурах энергии электронов и дырок значительно отличаются от энергии Ферми E-EF>3kT,
поэтому единицей в знаменателе функции распределения можно пренебречь и перейти к статистике Максвелла-Больцмана. Таким образом, электронный газ в полупроводнике не вырожден, но при этом
продолжает действовать принцип Паули.
При T>0 K существует конечная вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону
проводимости, появляются свободные электроны и дырки в зонах. Однако идет и обратный процесс – возврат электронов из зоны проводимости в валентную зону и исчезновение пары электрон-дырка. Этот
процесс называется рекомбинацией. В результате устанавливается динамическое равновесие.
Равновесная концентрация ni, pi
собственных свободных носителей заряда в кристалле с шириной
запрещенной зоны Eg при температуре Т равна
Eg
2
kT
3
2
3 4
n
i
p
i
N
c
N V
m
n
m
p
exp E
g
2kT
(11.1)
3
exp
2kT
2
Здесь Nc - эффективная плотность энергетических состояний в зоне проводимости
Nc 2 mn k T
2 2 3 2
,
(11.2)
mn – эффективная масса электронов. Коэффициент 2 учитывает, что на энергетическом уровне могут находиться два электрона. Эффективная плотность состояний в валентной зоне Nv равна
NV 2 m p k T2 2 32 , (11.3)
а mp – эффективная масса дырок.
Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется температурой - при Т=0
К уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны, с ростом температуры смещается
m
2 