1. Статистичне визначення ймовірності

Коли дослід не зводиться до "схеми випадків", ймовірність події визначають статистично, попередньо провівши довготривалі спостереження над появою чи непоявою шуканої події при великій кількості випробувань, які відбуваються в одних і тих же умовах.

Приклад.  Нехай  на  протязі  500  год.  спостережень  з   1000  конденсаторів  відмовили 15 (конденсатори не замінюються новими). Розглянемо подію — безвідмовну роботу конденсаторів за t= 500 год. Ймовірність безвідмовної роботи (зв t=500 год) конденсаторів по аналогії з класичним визначенням ймовірності подій може бути оцінено як:

Якщо розглядувана подія — відмова конденсатора, то ймовірність відмов за час t=500 год може бути оцінено величиною:

Значком (*) позначається статистичне значення ймовірності, яка є наближеним числовим значенням відповідної ймовірності.

Таким чином, статистична ймовірність деякої події А визначається як відношення числа дослідів n, у яких подія, яка нас цікавить, повториться до загального числа дослідів n, приведених у даних випробуваннях.

                                                                       (1)

Статистичну ймовірність часто називають частотою появи події або відносною частотою.

У формулі (1) умова є очевидною, якщо при дослідженнях на надійність відбувається заміна відмовивших елементів новими, то число m може стати більшим n, тобто будь-яким.

Таким чином, формула (1) при розрахунку елементів (систем) може бути застосована для випадку випробувань не поновлюваних і незамінних елементів (систем).

При використанні формули (1) для випадку повністю відновлюваних (замінних) елементів (систем) треба в числа m і n включити і число відновлювань.

Багаточисельні досліди показують, що частота події Р*(А) при достатньо великій кількості дослідів n в попередній серії випробувань зберігає майже постійну величину від серії до серії, тобто коливання частот відбувається біля математичної ймовірності події Р. Цей зв'язок між статистичною і математичною ймовірностями вперше довів Бернуллі у своїй теоремі: Якщо подія А має ймовірність р, то при необмеженому збільшенні числа дослідів ймовірність розходження між частотою і ймовірністю р наближається до нуля.

Іншими словами, якщо число дослідів велике, то, приймаючи частоту події за значення ймовірності, ми дуже мало ризикуємо помилитися на якусь суттєву величину. Іноді говорять, що частота події збігається по ймовірності до ймовірності події.

Варіант 30

1. Предмет теорії ймовірностей У житті ми часто стикаємося з випадковими явищами. Чим обумовлена ​​їх випадковість - нашим незнанням істинних причин того, що відбувається або випадковість лежить в основі багатьох явищ? Суперечки на цю тему не вщухають в самих різних областях науки. Чи випадковим чином виникають мутації, наскільки залежить історичний розвиток від окремої особистості, чи можна вважати Всесвіт випадковим відхиленням від законів збереження? Пуанкаре, закликаючи розмежувати випадковість, пов'язану з нестійкістю, від випадковості, пов'язаної з нашим незнанням, приводив наступне питання: «Чому люди знаходять цілком природним молитися про дощ, в той час як вони вважали б смішним просити в молитві про затемненні» Надалі ми не будемо торкатися природи поняття випадковості, але при кожному конкретному застосуванні теорії ймовірностей і статистики потрібно спочатку уважно проаналізувати суть явищ, що відбуваються. Спробуємо ознайомитися з основними закономірностями випадкових процесів. Для початку, візьмемо в руки монету, будемо її кидати і записувати результат послідовно у вигляді рядки: О, Р, Р, О, О, Р. Тут буквами О і Р позначено випадання орла чи решки. У нашому випадку кидання монетки - це випробування, а випадання орла чи решки - подія, тобто можливий результат нашого випробування. Нехай ми провели випробування N раз, R раз випала решка, O = N - R раз випав орел. Припустимо, що при великому числі випробувань N ставлення прагне до деякої постійної величини. Назвемо її ймовірністю р настання події.    Якщо існує ідеалізований процес, який можна представити у вигляді випробувань, і частота випадкової події наближається до межі то ця межа називається ймовірністю даного випадкової події. Часто ймовірність, яка в нашому визначенні поміщена в інтервалі 0 ≤ р ≤ 1, виражають у відсотках, множачи число р на 100%. Іноді ймовірність події можна передбачити з міркувань симетрії. Наприклад, при киданні «ідеального» грального кубика випадання будь-якої грані рівноможливими (равновероятно). Всього граней 6, значить, вірогідність випадання я-й грані р (Ai) = Р (A1) = Р (А2) = Р (А3) = Р (А4) = Р (A5) = Р (A6) = 1/6 . Якщо ми маємо справу з вимірними випадковими величинами, наприклад, вимірюємо протягом кількох років кількість снігу, що випав за день, то поняття ймовірності теж можна ввести. Для цього запишемо результати вимірювання в таблицю з точністю, наприклад, в сантиметр і підрахуємо відносну частоту появи того чи іншого значення. Наприклад, ймовірність того, що випаде 3 см снігу, - де N (3) - кількість днів, в кожен з яких випало 3 см, N - загальна кількість днів, в які проводилися виміри. Для того щоб знайти ймовірність події, що відбувається в серії випробувань, потрібно:     знайти число N всіх можливих результатів (елементарних подій);     прийняти припущення про равновероятности цих результатів;     знайти кількість N (A) тих результатів, в яких настає подія;     знайти приватне воно і буде одно ймовірності Р (А) настання події A.

2Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного представлення замкнутих нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.

Варіант 25