2. Метод найбільшої правдоподібності

Визначення. Нехай є деяка сукупність x º (x₁ ,..., x_n) спостережень. Розглянемо імовірність (чи щільність) p(x/a) одержати це x при різних a º (a₁ ,..., a). У якості оцінки візьмемо те значення а, для якого імовірність p(x/a) максимальна; такий спосіб оцінювання називається методом найбільшої (максимальної) правдоподібності.

Функція p(x/a), що розуміється як функція від а, називається функцією правдоподібності. Значення а*, при якій досягається максимум функції правдоподібності, називається оцінкою найбільшої (максимального) правдоподібності:

p(x/a*) = p (x/a). (4.2)

Помітимо, що а* є функція спостережень х: а* = а* (х). При звичайних умовах регулярності максимум знаходиться із системи рівнянь

i = 1, ..., R.

1.Формула Пуассона Теорема: Якщо ймовірність p настання події А в кожному випробуванні постійна, близька до нуля, а число незалежних випробувань n досить велике, то ймовірність Pn (k) того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане k раз, наближено дорівнює:

, где λ=np

. Ця формула називається формулою Пуассона. Зазвичай наближену формулу Пуассона застосовують, коли p <0,1, а npq <10

Функция

№13

1. Теорема Чебишова

Нехай послідовність незалежних випадкових величин ,які задовольняють умовам:

1.M(X_і)>= a_і

2.D(X_і )<= с Для всіх і=1,2,3…..n

Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середне арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань ,взятого за абсолютним значенням .

Ця теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема

2. див лекція регренеційний аналіз і кореляція

№27

1. Функція розподілу ймовірностей — В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.

Нехай  — ймовірнісний простір, в якому  — множина елементарних подій,  — сукупність підмножин , що утворюють -алгебру, множини з називаються випадковими подіями,  — міра на , що задовольняє умову . Функція , визначена рівністю

,

називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина набуває значень менших або рівних .

Властивості

функція розподілу для дискретного розподілу ймовірностей, для неперервного розподілу та для розподілу що містить дискретну та неперервну частини.

Якщо є дискретною випадковою величиною, що набуває значень із ймовінсітю , то функція розподілу для буде розривною в точках і неперервною поміж ними:

Легко бачити, що:

• не спадає на всій числовій прямій.

• неперервна справа.

• .

• .

З властивостей ймовірності випливає, що для всіх і для всіх , таких що матимуть місце співвідношення:

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

2. Інтервальною оцінкою параметру θ називають числовий інтервал , який з заданою ймовірністю γ накриває невідоме значення параметру θ.

Звернемо увагу на те, що межі інтервалу  знаходяться за вибірковими даними та є випадковими величинами. Інтервал  називають довірчим, а ймовірність γ – довірчою імовірністю або надійністю оцінки. Поняття довірчого інтервалу ввели у 1950 р. Нейман та Пірсон. Також не важко побачити, що величина вибіркового інтервалу залежить від об’єму вибірки (зменшується із зростанням n) та від значення довірчої ймовірності γ (збільшується при наближенні її до 1).

Варіант 20