9. Распределение Пирсона типа V
Как уже отмечалось,
тогда и только тогда
,
когда
.
Таким образом, мы получаем следующий
алгоритм, основанный на специальном
свойстве этого распределения.
1.Генерируем
.
2. Возвращаем
.
Можно использовать
любой метод для генерирования случайных
величин с гамма - распределением, только
необходимо учитывать, будет ли
или
.
Применяя метод обратного преобразования
следует иметь в виду, что функция
распределения
есть функция
— функция распределения
.
Установив, что
,
получаем
,
как в буквальном методе обратного
преобразования, или
,
если
и
имеют
одно и то же распределение U(0,1).
В любом случае нам обычно следует
применять численный метод для оценки
.
Распределение
Пирсона типа V РТ5( |
|
Варианты распределений
|
Время выполнения какой-либо задачи (график функции плотности принимает форму, подобно графика плотности логарифмического распределения, но может иметь большой острый «выступ» ближе к x=0). |
Плотность (рис.1.7.) |
|
Распределение |
где
|
Параметры |
Параметр формы , масштабный параметр |
Область |
|
Среднее |
|
Дисперсия |
|
Мода |
|
Оценка максимального правдоподобия |
При наличии
длинны
|
Примечания |
1. Тогда и только
тогда
2.Заметьте, среднее и дисперсия существуют только для определенных значений параметра формы. |
Рис. 1.7. Функции
плотностей распределения вероятностей
РТ5(
|
|
)
-
функция распределения случайной
величины с распределением
.
для
для
подборка распределения
к
в результате дает оценки по методу
максимального правдоподобия
и
.
Оценки максимального правдоподобия
для РТ5(
)
составляют
=
и
(см.примечание 1).
РТ5(
),
когда
.
Поэтому распределение Пирсона типа
V называется обращенным
гамма-распределением.
)
10. Распределение Пирсона типа VI
,
если
а
являются
независимыми величинами. Таким образом,
получаем следующий алгоритм.
1. Независимо
генерируем
2. Возвращаем
.
Можно применять
любой метод для генерирования случайных
величин с гамма-распределением, необходимо
лишь проверить, будет ли
.
При использовании метода обратного
преобразования учтите, что функция
распределения
равна
для
,
где
- это функция распределения
.
Распределение
Пирсона типа VI PT6( |
|
Варианты распределений
|
Время выполнения какой-либо задачи
|
Плотность (рис.1.8.) |
|
Распределение |
где
|
Параметры |
Параметры формы и , масштабный параметр |
Область |
|
Среднее |
|
Дисперсия |
|
Мода |
|
Оценка максимального правдоподобия |
При наличии
данных
имеющих
распределение PT6(
к
|
Примечания |
1. Тогда и только
тогда X~ PT6(
),
когда
2.
Если
и
-
независимые случайные величины с
3.
Обратите внимание, что среднее и
дисперсия существуют только для
определенных значений параметра формы
|
Рис.
1.8. Функции плотностей распределения
вероятностей PT6(
):
а -
Рис. 1.8. Функции
плотностей распределения вероятностей
PT6(
):
в-
г-
|
|
)
-
функция распределения случайной
величины с распределением
для
для
),
подборка распределения
для
i = 1,2,…,n в результате даст оценки
максимального правдоподобия
и
(см.примечание 1).
,
а
,
то
.
;
б -
;
11. Лог-логистическое распределение
Функцию лог-логистического распределения можно обратить, чтобы получить
и в результате вывести алгоритм, используемый для обратного преобразования.
1. Генерируем .
2. Возвращаем
.
Лог-логистическое
распределение
|
|
Варианты распределений |
Время выполнения какой-либо задачи |
Плотность (рис.1.9.) |
|
Распределение |
|
Параметры |
Параметр формы , масштабный параметр |
Область |
|
Среднее |
|
Дисперсия |
|
Мода |
|
Оценка максимального правдоподобия |
Допустим, что
Тогда
оценка максимального правдоподобия
для лог-логистического распределения
будут
Джонсон, Коц и Балакришнан предлагают решать уравнения (1) и (2) с помощью метода Ньютона. |
Примечания |
Тогда и только
тогда
|
Рис.1.9. Функции
плотностей распределения вероятностей
|
|
для
,
где
для
.
Решите два следующих уравнения для
и
:
; (1)
(2)
и
.
,
когда ln X имеет логистическое
распределение с параметром
и масштабным параметром
.
Следовательно, если есть данные
с лог-логистическим распределением,
то при построении гипотез относительно
распределения, оценке параметров и
проверке по критерию согласия, логарифмы
точек
могут
рассматриваться как такие, которые
имеют логистическое распределение.
