- •Методические указания
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Равномерное распределение
- •2. Экспоненциальное распределение
- •3. Распределение Эрланга -го порядка
- •4. Гамма-распределение
- •5. Распределение Вейбулла
- •6. Нормальное распределение
- •7. Логнормальное распределение
- •8. Бета-распределение
- •9. Распределение Пирсона типа V
- •10. Распределение Пирсона типа VI
- •12. Связанное распределение Джонсона
- •13. Несвязанное распределение Джонсона
- •14. Треугольное распределение
7. Логнормальное распределение
Специальное свойство логнормального распределения - если , то - используется, чтобы получить следующий алгоритм.
1. Генерируем .
2. Возвращаем .
Для выполнения шага 1 можно взять любой из методов генерирования нормально распределенных случайных величин.
Помните о том, что и не являются средним и дисперсией распределения . В действительности, если , и мы определяем , то получается, что . Следовательно, если мы намерены генерировать логнормально распределенную случайную величину X с заданным средним и заданной дисперсией , необходимо сначала определить и в исчислении и , перед тем как генерировать промежуточную нормально распределенную случайную величину Y. Получаем следующие формулы:
;
.
Логнормальное распределение |
|
Варианты распределений
|
Время выполнения какой-либо задачи (график функции плотности принимает форму, как у графиков плотности gamma и распределений Weibull для >1, но может иметь большой острый «выступ» ближе к x=0, что бывает полезно); величины, являющиеся произведением большого числа других величин (на основании центральной предельной теоремы) |
Плотность (рис.1.6.) |
|
Распределение |
Конечная форма отсутствует |
Параметры |
Параметр формы , масштабный параметр |
Область |
|
Среднее |
|
Дисперсия |
|
Мода |
|
Оценка максимального правдоподобия |
|
Примечания |
1. Тогда и только тогда , когда . Поэтому, если считается, что данные имеют логнормальное распределение, логарифмы точек данных могут рассматриваться как нормально распределенные данные для построения гипотез относительно распределения, оценки параметров и проверки по критерию согласия. 2. При логнормальное распределение становится вырожденным в точке . Плотности логнормальное распределения для небольших значений имеют резкое возрастание в моде. 3. независимо от значений параметров |
Рис.1.5. Функции плотности распределения вероятностей |
8. Бета-распределение
Вначале обратите внимание, что мы можем получить в интервале [а,b] для а<b, установив , где в интервале [0,1]. Так что достаточно рассмотреть последний случай, который мы дальше будем называть распределением .
Некоторые свойства распределения для определенных комбинаций обеспечивают генерирование случайных величин с бета-распределением. Во-первых, если , то , так что мы можем без труда генерировать случайную величину с распределением , если удается легко получить случайную величину с распределением . Такая ситуация возникает, когда или , или равно 1. Если -1, мы получаем для , так что функция распределения , и мы можем без труда генерировать с помощью метода обратного преобразования, то есть возвратив для . Наконец, распределение beta(l,1) - это распределение U(0,1).
Общий метод генерирования случайных величин с распределением для любых значений и основывается на том факте, что если , а , и являются независимыми величинами, то . Таким образом, мы получаем следующий алгоритм:
1. Независимо генерируем .
2. Возвращаем .
Две случайные величины и с гамма - распределением можно генерировать по соответствующему алгоритму генерирования случайных величин с гамма-распределением, так что нам нужно проверить, когда и , будут меньше или больше 1.
Этот метод достаточно удобен, поскольку он, по сути, выполняется для всех значений при условии, что у нас есть генераторы случайных величин с распределением . Эффективность его выполнения зависит от скорости работы выбранных генераторов случайных величин с гамма-распределением.
Бета-распределение |
|
|
Варианты распределений
|
Используется как приблизительная модель при отсутствии данных (см.раздел 6.11); распределение случайной доли (доли бракованных товаров в партии); время выполнения задачи, скажем, в сетевом графике |
|
Плотность (рис.1.6.) |
где -бета-функция, определяемая как для любых вещественных чисел . Некоторые свойства бета-функции:
|
|
Распределение |
В целом конечная форма отсутствует. Если или является положительно целым числом, можно воспользоваться биномиальным разложением, чтобы получить , которая будет многочленом в точке х, как правило, будут положительными вещественными числами от 0 до |
|
Параметры |
Параметры формы и |
|
Область |
|
|
Среднее |
|
|
Дисперсия |
|
|
Мода |
|
|
Оценка максимального правдоподобия |
Должны выполняться два следующих равенства: где -дигамма-функция; и ; заметьте, что . Найти оценку максимального правдоподобия решив эти уравнения. |
|
Примечания |
1. Распределение U(0,1) и beta(1,1) одинаковы. 2. Если и - независимые случайные величины с , то . 3. Для случайной величины Х с бета-распределением в интервале [0,1] можно изменить масштаб и размещение, чтобы получить случайную величину Х с бета-распределением в интервале [a, b] с той же формой путем трансформации . 4. Тогда и только тогда , когда . 5. Тогда и только тогда , когда имеет распределение Пирсона типа VI с теми же параметрами формы и масштабным параметром 1, обозначаемое как РТ6 ( ,1). 6. Плотность beta(1,2) – левый треугольник, а плотность beta(2,1) – правый треугольник. 7.
8. Тогда и только тогда плотность симметрична , когда . Среднее и мода равны тогда и только тогда, когда . |
|
Рис.1.6. Функции плотностей распределения вероятностей а-г при различных значениях и
|
|