24. При каких квадратичная форма является положительно или отрицательно определенной?

Решение. Матрица квадратичной формы:

.

Применяем критерий Сильвестра. Главные миноры матрицы равны:

.

Какое бы не было бы , следовательно, квадратичная форма не является положительно определенной и не является отрицательно определенной.

25. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма положительно определена.

Решение. Матрица квадратичной формы:

.

Применяем критерий Сильвестра. Главные (угловые) миноры матрицы равны:

.

Для получаем , следовательно, по критерию Сильвестра заключаем, что квадратичная форма является положительно определенной при .

19