19. Может ли данная билинейная форма

задавать скалярное произведение?

Решение. 1) Краткая Теория. Определение 1. Будем, говорить, что в линейном пространстве R определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам):

1. , т.е. скалярное произведение сим­метрично.

2. , где — действительное число.

3. ( - дистрибутивность скалярного произведения.

4. ; и обращается в нуль, лишь если х = 0.

Определение 2. есть билинейная форма (функция) от векторов , если линейна по обоим аргументам, т.е.

1. линейность по : при фиксированном :

, , где — действительное число.

2. линейность по : при фиксированном :

, , где — действительное число.

Определение 3. Билинейная форма является симметричной, если для любых векторов имеет место равенство: .

Скалярное произведение является примером симметричной билинейной формы.

Билинейная форма не является симметричной, т.к., например, для векторов имеем, что и .

Определение 4. Пусть А(х;у) – симметрическая билинейная форма. Функция А(х;х), которая получается из А(х;у), если положить у = х, называется квадратичной формой.

Определение 5. Квадратичная форма А(х;х) называется положительно определенной, если для любого вектора имеем .

Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма и А(х;у) – соответствующая ей симметрическая билинейная форма. В силу сформулированных выше определений это означает:

1. .

2. .

3. .

4. и 0 при .

Мы видим, что эти условия совпадают с аксиомами скалярного произведения. Следовательно, скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.

2) В силу определений сделанных выше, следует, что билинейную форму надо проверить на симметричность и на положительную определенность соответствующей квадратичной формы.

а) Свойство симметричности:

.

б) Свойство положительной определенности квадратичной формы (выделяем полные квадраты):

.

Так для вектора , получаем, что , следовательно, не является положительно определенной квадратичной формой.

Вывод: данная билинейная форма не может задавать скалярное произведение.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Краткая теория по Квадратичным формам.

Определение 1. Пусть Q(х;у) – симметри­ческая билинейная форма. Функция Q(х;х), которая получается из Q(х;у), если положить у = х, называется квадратичной формой (см. задачу 19).

Определение 2. Квадратичная форма Q(х;х) называется положительно определенной, если для любого вектора имеем .

Определим квадратичную форму как однородный многочлен второй степени от нескольких переменных:

где - некоторые числа. Сопоставим такому многочлену квадратную матрицу порядка n, полагая

Построенная таким образом симметрическая матрица A называется матрицей квадратичной формы F. Если обозначить вектор из переменных многочлена F, то саму квадратичную форму F легко выразить через x и A, используя матричное умножение:

.

Понятно, что разным квадратичным формам соответствуют разные симметрические матрицы и что каждая симметрическая матрица n-ого порядка является матрицей некоторой квадратичной формы от переменных . Если переменные квадратичной формы подвергнуть некоторому линейному преобразованию

то она превратится в квадратичную форму от новых переменных . Нашему линейному преобразованию соответствует матрица ; то само преобразование может быть записано в матричном виде . В этой ситуации

.

и, является матрицей нашей квадратичной формы относительно новых переменных .

Теорема (теорема Лагранжа о квадратичных формах). Если V - ненулевое конечномерное простран­ство, а Q - квадратичная форма на этом пространстве, то в V найдется такой базис {f}, что матрица этой формы в этом базисе [Q]_f - диагональная матрица.

Для однородного многочлена второй степени теорема Лагранжа означает, что можно найти такое линейное преобразование его переменных с обратимой матрицей С (неособенное, или невырожденное преобразование), что относительно новых переменных наша квадратичная форма не будет содержать ненулевых одночленов, соответствующих смешанным произведениям:

- такие квадратичные формы принято называть диагональными формами.

Базис, относительно которого матрица квадратичной формы диагональная, а также сама диагональная матрица определены, конечно, неоднозначно.

Рассмотрим теперь две ситуации, когда можно говорить о каноническом виде матрицы квадратичной формы. Далее под квадратичной формой понимаем однородный многочлен второй степени.

Теорема (закон инерции вещественных квадратичных форм).

Если вещественная квадратичная форма двумя различными невырожденными (определитель матрицы перехода не равен нулю) вещественными преобразованиями и приведена к двум различным диагональным видам

,

то последовательности и содержат одинаковое количество положительных членов и одинаковое количество отрицательных членов.

Число в этой ситуации называется положительным индексом инерции, а число - ее отрицательным индексом инерции. Рангом инерции называется число . Отметим, что индексы инерции являются инвариантами (не зависят от базиса).

В формулировке следующего утверждения используется понятие главных (угловых) миноров квадратной матрицы n-ого порядка - это стоящие в левом верхнем углу миноры: .

Будем считать, что .

Теорема (Якоби). Пусть V - линейное пространство, f = (f₁,...,f_n) - его базис, Q - квадратичная форма на пространстве V, причем для матрицы все ее угловые миноры (обозначаемые ) отличны от 0. Тогда найдется такой базис g, что в этом базисе матрица квадратичной формы диагональная с элементами вычисляемыми по формулам:

.

Теорема (Якоби). Пусть V - линейное пространство, f = (f₁,...,f_n) - его базис, Q - квадратичная форма на пространстве V, причем для матрицы все ее угловые миноры (обозначаемые ) отличны от 0. Тогда найдется такой базис g, что в этом базисе матрица квадратичной формы диагональная с элементами вычисляемыми по формулам:

.

Теорема (Сильвестра). Квадратичная форма Q положительно определена тогда и только тогда, когда все главные (угловые ) миноры матрицы положительны.

Квадратичная форма Q отрицательно определена тогда и только тогда, когда все главные (угловые ) миноры матрицы отрицательные.

Теорема. Квадратичная форма Q положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.

Квадратичная форма Q отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательные.

(Приведение к диагональной форме при помощи собственных значений и векторов – в задаче 22)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------