23. Привести квадратичную форму .

a) к главным осям (при помощи ортогональной замены координат);

b) к каноническому виду (при помощи метода Лагранжа выделения полных квадратов);

c) определить ранг и индексы инерции.

Решение.

a) К главным осям (при помощи ортогональной замены координат).

1) Матрица квадратичной формы:

2) Решаем характеристическое уравнение или

или .

Следовательно, - собственные значения.

3) Находим собственные вектора, решая систему .

а) . Решаем систему

.

Здесь - базисная переменная, а - небазисные переменные.

Полагая , получаем собственный вектор .

Полагая , получаем собственный вектор .

Произведем ортогонализацию полученных собственных векторов.

,

.

Проведем проверку (необязательно): .

Итак, найдены ортогональные собственные вектора и отвечающие .

б) . Решаем систему

.

Здесь - базисные переменные, а - небазисная переменная.

Полагая , получаем собственный вектор для .

4) Т.к. матрица оператора, заданного в ортонормированном базисе, является симметричной, то это означает, во-первых, что оператор является самодвойственным, а во-вторых, собственные вектора отвечающие разным собственным значениям ортогональны.

Следовательно, , , - ортогональный базис из собственных векторов оператора.

Произведем нормировку (сделаем вектора единичными):

, ,

.

Итак, - ортонормированный базис из собственных векторов оператора

5) Заменой (ставим в столбцы координаты ):

или .

Отметим, что матрица С – ортогональная, поэтому для нахождения обратной достаточно ее транспонировать, т.е. - обратное преобразование.

В ортонормированном базисе квадратичная форма имеет канонический вид:

.

b) К каноническому виду (при помощи метода Лагранжа выделения полных квадратов).

Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

.

Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

.

Итак, невырожденное линейное преобразование

.

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду: .

Замечание: Если внести множители под квадраты, то можно привести к виду

.

c) определить ранг и индексы инерции.

Количество положительных членов в каноническом представлении квадратичной формы равна трем (по первому методу – все собственные вектора положительны), поэтому индекс положительной инерции .

Отрицательных членов в каноническом представлении квадратичной формы нет (по первому методу – нет отрицательных собственных векторов), поэтому индекс отрицательной инерции .

Ранг инерции равен .

Нулевых членов в каноническом представлении квадратичной формы нет, поэтому ранг равен размерности линейного пространства , а поэтому данная квадратичная форма – положительно определена (попутно заметим, т.к. все собственные вектора положительны, то данная квадратичная форма – положительно определена).