6. Найдите базисы ядра и образа (указав размерность этих линейных подпространств) линейного отображения, заданного матрицей .

Решение. Очевидно, что данное линейное преобразование действует , т.к. умножение матриц определено, когда количество столбцов 1-й матрицы равно количеству строк второго вектора (в нашем случае 4), а полученная матрица имеет размерность (т.к. в матрице A 5 строк).

Совокупность N векторов x таких, что Ax=0, называется ядром преобразования A.

Совокупность M векторов вида Ax, когда x пробегает все R (в нашем случае ) называется образом пространства R при преобразовании A (другими словами образ – множество векторов y, для которых уравнение Ax=y имеет хотя бы одно решение).

1) Находим ядро. Пусть - вектор столбец. Решаем систему уравнений

.

Решаем систему методом Гаусса

.

Переменные - базисные, а - небазисная.

Находим все фундаментальные решения. В нашем случае оно одно: положив , получаем - который и будет образовывать базис ядра (т.к. все вектора вида отображаются в 0). Размерность базиса равна 1.

2) Находим образ. Пусть - вектор столбец. Решаем систему уравнений Ax=y.

Для того, чтобы вектор принадлежал образу, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А, и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

.

Т.к. rang(A) = 3, то для того чтобы rang(A|y) =2, необходимо и достаточно, чтобы

.

Находим фундаментальные решения (базис образа). Т.к. определитель из коэффициентов при : , то - базисные, а - небазисные.

1-е фундаментальное решение. Положим , находим решение системы

- первое базисное решение.

2-е фундаментальное решение. Положим , находим решение системы

- второе базисное решение.

3-е фундаментальное решение. Положим , находим решение системы

- второе базисное решение.

Итак, размерность образа равна 3, базис – вектора .

(Видно, что размерность образа + размерность ядра = размерности пространства R⁴).

7. Найти размерность пространства и , где , а м – пространство решений системы уравнений .

Решение. - ядро, - образ. Преобразование .

1) Находим ядро. Решаем систему уравнений

Следовательно, одно базисное решение - базис ядра. Размерность .

2) Находим образ.

Пусть - вектор столбец. Решаем систему уравнений Ax=y.

Для того, чтобы вектор принадлежал образу, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А, и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

.

Т.к. rang(A) = 2, то для того чтобы rang(A|y) =2, необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда, - базисная, а не базисные переменные.

1-е фундаментальное решение: .

2-е фундаментальное решение: .

Следовательно, - базис образа. Размерность .

3) Находим ортогональное дополнение . Т.к. любой вектор , перпендикулярен любому вектору из , то заключаем, что скалярное произведение

- фундаментальное решение системы или базис .

4) Найдем базис линейной оболочки векторов , . Т.к.

, то заключаем, что , - базис в , и следовательно, размерность .

5) Находим пространство решений системы уравнений .

- фундаментальное решение системы или базис M.

6) Находим ортогональное дополнение . Т.к. любой вектор , перпендикулярен любому вектору из , то заключаем, что скалярное произведение

.

Отсюда, - базисная, а не базисные переменные.

1-е фундаментальное решение: .

2-е фундаментальное решение: .

Следовательно, - базис . Размерность .

7) Найдем базис линейной оболочки векторов , , , .

Очевидно, что , а , - базис в , и следовательно, размерность .

8. Пусть U - подпространство линейного пространства R⁴, являющееся линейной оболочкой. векторов , V - подпространство линейного пространства R⁴ являющееся линейной оболочкой векторов . Найдите: базис U + V и базис .

Решение.

1) Находим базис в U.

rang=3 , сл-но, - базис U.

1) Находим базис в V.

rang=3 , сл-но, - базис V.

3) Находим базис в U + V.

Находим линейно независимые вектора в объединении .

, а вектора - базис U + V , а размерность dim(U + V)=4.

4) Найдем общие вектора в U и V .

Нам известно, что в конечномерном пространстве подпространства могут быть заданы системами линейных уравнений. Тогда их пересечение задаётся системой уравнений, полученной объединением систем, задающих подпространства.

Система уравнений задающая U:

Для того, чтобы вектор принадлежал линейной оболочке U, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

Т.к. rang(A) = 3, то для того чтобы rang(A|y) =3, необходимо и достаточно, чтобы

- искомая система линейных уравнений.

Система уравнений задающая V:

Для того, чтобы вектор принадлежал линейной оболочке U, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

Т.к. rang(A) = 3, то для того чтобы rang(A|y) =3, необходимо и достаточно, чтобы

- искомая система линейных уравнений.

Решаем общую систему:

.

Отсюда фундаментальные решения (которые получаются при и при ), а следовательно базис есть: .

9. Подпространство L₁ в R⁴ порождено векторами (1;-4;6;7) и (0;1;-3;1), а подпространство L₂ - векторами (0;1;-4;5) и (1;-4;7;-11). Постройте базисы следующих подпространств: пересечения и ортогонального дополнения к сумме .

Решение.

1) Находим базис в L₁. Т.к. матрица, составленная из координат векторов , имеет ранг=2 (т.к. в ней есть определитель второго порядка ), то заключаем, что вектора =(1;-4;6;7) и =(0;1;-3;1) линейно независимые и образуют базис в L₁.

2) Аналогично, заключаем, что вектора =(0;1;-4;5) и =(1;-4;7;-11) линейно независимые и образуют базис в L₂.

3) Находим базис L₁+ L₂.

Рассматриваем объединенную систему векторов

=(1;-4;6;7), =(0;1;-3;1), =(0;1;-4;5), =(1;-4;7;-11)

и находим среди них линейно независимые. Находим ранг матрицы, столбцами которой являются координаты :

.

Ранг = 4, следовательно, все вектора - линейно независимые и образуют базис в L₁+ L₂.

4) Находим базис ортогонального дополнения .

Каждый вектор из ортогонален любому вектору из L₁+ L₂. Следовательно, скалярные произведения на вектора базиса из L₁+ L₂ равны 0. Получаем однородную систему

.

Т.к. определитель системы не равен 0 (показано выше, что ранг=4), то система имеет единственное тривиальное решение .

Следовательно, состоит только из одного вектора .

(Это и так было видно, т.к. линейная оболочка , ибо 4 линейно независимых вектора образуют базис в , а ).

5) Находим систему уравнений описывающую L₁.

Для того, чтобы вектор принадлежал линейной оболочке , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А – составленной из координат векторов , и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

.

Т.к. rang(A) = 2, то для того чтобы rang(A|y) =2, необходимо и достаточно, чтобы

- искомая система линейных уравнений.

Находим систему уравнений описывающую L₂.

Для того, чтобы вектор принадлежал линейной оболочке , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А – составленной из координат векторов , и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

.

Т.к. rang(A) = 2, то для того чтобы rang(A|y) =2, необходимо и достаточно, чтобы

- искомая система линейных уравнений.

Решаем общую систему:

Т.к. определитель матрицы коэффициентов , то система имеет единственное решение . Следовательно, состоит из одного вектора (0;0;0;0).

(Это и так было видно, т.к. вектора - линейно независимые, линейные оболочки и не имеют общих (кроме нулевого) векторов, т.к. линейная комбинация векторов не может дать вектора , а следовательно и их линейные комбинации).