- •Введение
- •Общие указания
- •Модуль 2. Статика
- •Основны математического аппарата
- •Прямоугольная декартова система координат
- •Графики аналитических функций в декартовой системе координат
- •Элементы тригонометрии
- •Графики тригонометрических функций
- •График функции представлен на рис. 1.9; это кривая называется также синусоидой, полученная в результате перемещения графика вдоль оси х влево на /2.
- •Векторы
- •Основы математического анализа
- •Правила интегрирования
- •1.6. Понятие об абсолютно твердом теле и его степенях свободы
- •4 Координаты – 1 уравнение связи 3 независимых координаты.
- •1.7. Инерциальная система отсчета
- •Кинематика
- •2.1. Траектория, скорость, ускорение материальной точки
- •Вращение твердого тела относительно неподвижной точки в плоскости
- •Сложное движение точки
- •2.4. Плоскопараллельное движение твердого тела
- •3. Статика
- •3.1. Основные элементы статики
- •3.2. Плоские фермы. Способы расчета
- •3.3. Принципы расчета составных конструкций
- •Общие указания по выполнению и оформлению контрольных работ.
- •Контрольные работы Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2. Плоское движение твердого тела Задача 1. Кинематический анализ плоского механизма
- •Контрольная работа №3. Плоская система сил
- •Библиографический список Основной
- •Дополнительный
- •Оглавление
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 79
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
Элементы тригонометрии
Рассмотрим круг единичного радиуса (рис. 1.7). Длина окружности круга единичного радиуса равна , откуда
|
Рис. 1.7 |
Градусная и радианная мера:
рад.; рад.;
1 рад. .
Таблица значений тригонометрических функций в смысле главного значения, т. е. в первом квадранте (рис. 1.7).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Основное тригонометрическое тождество:
.
Функции двойного угла:
Формулы приведения:
; ; ; ; |
Графики тригонометрических функций
При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция представляется графиком (рис. 1.8). Эта кривая называется синусоидой.
|
Рис. 1.8 |
График функции представлен на рис. 1.9; это кривая называется также синусоидой, полученная в результате перемещения графика вдоль оси х влево на /2.
|
Рис 1.9 |
Характеристики и свойства тригонометрических функций:
область определения: < x < + ; область значений: 1 y +1;
функции периодические, их период равен 2 ;
функции ограниченные ( | y | 1 ), всюду непрерывные.
Векторы
О
Рис.
1.10
Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, для векторных величин – в векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В (по траектории движения ) вычисляется алгебраическим сложением (рис. 1.10, а):
а полное перемещение вычисляется расстоянием между пунктами А и В, которое равно
.
Вектор обозначается буквой с чертой (или стрелкой) над ней – ( ) и изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой вектором физической величины (рис. 1.10, б). Вектор характеризуется точкой приложения (точка А), модулем и линией действия – прямой, вдоль которой направлен вектор. Вектор, модуль которого , называется единичным вектором. Если направление единичного вектора совпадает с направлением вектора, единичный вектор называется ортом. Орты, направленные по осям , декартовой системы координат, обозначаются , – единичные орты (рис. 1.11).
П
Рис.
1.11
Каждый вектор может быть единственным образом разложен на сумму векторов, параллельных единичным ортам плоской системы:
. (а)
Скаляры , называются координатами вектора в системе и обозначается это так:
. ( б)
Записи (а) и (б) равносильны.
Координаты вектора , и модуль вычисляются по формулам:
,
Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлениями оси и направлением вектора (рис. 1.12):
Рис. 1.12
.
Линейные комбинации векторов. Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов и , приведенных к общему началу, есть третий вектор , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах и , а направлен вектор от точки A к точке B (рис. 1.13):
.
Рис. 1.13 |
Модуль вектора вычисляется по формуле
Силовой многоугольник. Суммируют несколько векторов построением векторного многоугольника. Слагаемые векторы путем параллельного переноса последовательно при- |
страивают один за другим так, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий полученный многоугольник, является суммой заданных слагаемых, причём его начало совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а конец – с концом последнего (рис. 1.14, а). Разность двух векторов. Разностью векторов ( ) называется вектор (диагональ BD) такой, что сумма векторов (рис. 1.14, б)
.
|
|
|
а |
б |
в |
Рис. 1.14 |
Скалярное умножение векторов. Скалярным умножением векторов и (обозначается ) называется скаляр, определяемый равенством
,
где угол – угол между векторами и , приведенными к общему началу (рис. 1.14, в).
Если заданы векторы и , то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
.
Радиус-вектор.
Положение
точки А
в пространстве удобно характеризовать
радиус-вектором.
Если каждому значению скалярного
аргумента t
поставить
в соответствие вектор
(расстояние между точкой
и полюсом О
фиксируется модулем
,
направление
фиксируется углом
(рис.1.15)),
то функция
будет называться радиус-вектором
скалярного аргумента. Если начало
вектора
(радиус-вектора) поместить в произв
Рис.
1.15
,
причем компоненты являются координатами точки А в прямоугольной системе координат (рис.1.16, а).
|
|
а |
б |
Рис. 1.16 |
В плоской прямоугольной системе координат (рис.1.16, б) радиус-вектор раскладывается по базисным векторам , так:
.