15. Задачи нелинейного программирования. (Постановка задачи математического программирования, классическая задача на условный экстремум.). Задача.

Дано: функция f(x), определённая на множестве Х

X: g_i(x) ≤ 0, i=1,…,n,

h_i(x) = 0, i=1,…,m.

Найти: точки min или max функции f(x) на X множестве.

F(x) → min, х ∈ Х (1.1)

X: g_i(x) ≤ 0, i=1,…, m, (1.2)

h_i(x) = 0, i=1,…, l. (1.3)

x = (x₁,…x_n) , X с Rⁿ_.

Задача (1.1) и (1.3), называется классической задачей на условный экстремум.

Введем функцию Логранжа

L(x,λ) = f(x) + ∑^l_i=1 λ_i · h_i(x).

Параметры λ_i назеваются множителями Лагранжа.

L(x, λ) → min

X ∈ Rⁿ

λ ^- фиксированные значения.

Пусть при заданном наборе значений λ

λ = λ⁰ = (λ⁰₁, …, λ⁰_l) функция L(x, λ⁰) достигает min в точке x⁰ ∈ Rⁿ и х⁰ удовлетворяет ограничениям (1.3).

Тогда x⁰ является решением задачи (1.1) и (1.3).

L(x⁰, λ⁰) = f(x⁰)

.

16. Задачи принятия решения. (Общая постановка, принцип оптимальности и функция выбора, основные виды задач принятия решений. Функции выбора, порожденные бинарными отношениями.). Задача.

Имеется множество вариантов; из него нужно выделить некоторое подмножество, в частном случае  один вариант. Выделение требуемых вариантов производится на основе представления об их качестве, характеризуемого принципом оптимальности.

Указанные элементы множество вариантов и принцип оптимальности  позволяют ввести следующие понятия.Задачей принятия решений назовем пару <Ω, ОП>, где Ω – множество вариантов, из которых мы выбираем, ОП – принцип оптимальности. Решением задачи <Ω, ОП> будем называть множество Ω_оп Ω, полученное с помощью принципа оптимальности ОП.

Задачи принятия решений различают в зависимости от имеющейся информации о множестве Ω и принципе оптимальности ОП. В общей задаче принятия решений как Ω, так и ОП могут быть неизвестными. Информацию, необходимую для выделения Ω_оп, получают в процессе решения. Задачу с известным Ω назовем задачей выбора, задачу с известными Ω и ОП общей задачей оптимизации.

Элементы множества Ω называют альтернативами или вариантами.

В процессе формирования множества Ω считают известным универсальное множествоΩ_у всех мыслимых альтернатив. Задача формирования Ω является задачей выбора с множеством альтернатив Ω_у. Множество Ω, полученное в результате решения указанной задачи выбора, называют исходным множеством альтернатив (ИМА).

Математическим выражением принципа оптимальности является функция выбора. Функцией выбора С называется отображение, сопоставляющее каждому множеству Х Ω его подмножество С(Х) Х, называемое выбором.

В общем определении функции выбора никаких априорных ограничений на C(X) не накладывается. В частности не исключается возможность пустого выбора, то есть C(X) = . Обычно C(X) =  называют “отказом от выбора” или “альтернативой статус-кво”.

Пусть на  задано бинарное отношение R и для x,y выполнено xRy (x находится в отношении R с y). ОтношениеR порождает на  две различные функции выбора:

Функции выбора C^R(X) и C_R(X), порожденные бинарным отношением R, называются блокировкой и предпочтением соответственно. Функции выбора, порожденные бинарным отношением, называются нормальными.

Произвольная функция выбора C не обязательно порождается каким-либо бинарным отношением. Например, для функции выбора на  = {x, y}, определяемой формулами

C(x) = x, C(y) = , C(x, y) = {x, y},

не существует бинарного отношения R на  такого, что C = C^R или C = C_R.

При отношение может быть задано числовой функцией U:

x R_U y U(x) >U(y)

Построение _оп для задачи с функцией выбора, порожденной бинарным отношением R_U, сводится к решению задачи оптимизации

Числовая функция U в задачах выбора называется функцией полезности [1].

При решении задач математического моделирования (задачи проектирования, описания различных технологических процессов, выбора оптимальных параметров и т.п.) уже на стадии концептуальной постановки необходимо определить для каждого параметра, можно ли считать его однозначно определенным или ему присуща некоторая неопределенность. Причем неопределенными могут быть не только параметры, но и связи между ними. Неопределенность понимается в том смысле, что соответствующие характеристики рассматриваемой системы находятся в условиях приближения и неполноты информации.

К наиболее значимым причинам появления неопределенности можно отнести следующие:

показатели системы практически всегда зависят от большого количества различных факторов, причем часть из них может быть даже неизвестна исследователю;

при построении модели обычно ограничиваются отбором наиболее существенных (по мнению субъекта или в силу объективных обстоятельств) переменных;

математические погрешности, возникающие при линеаризации модели; ошибки измерений и погрешности при проведении эксперимента и т.п.

В общем случае все причины возникновения неопределенности можно разбить на две основные группы: субъективные и объективные. Субъективные причины обусловлены некоторыми частными, нерегулярно повторяющимися явлениями, поэтому их достаточно сложно учесть при решении прикладных задач. Объективные причины чаще всего связаны с физическими особенностями исследуемого явления.

В зависимости от полноты описания неопределенность можно разбить на три основные группы: неизвестность, недостоверность и неоднозначность.

Неизвестность – это начальная стадия описания неопределенности, при которой информация полностью отсутствует.

Недостоверность – это вторая стадия описания неопределенности, которая для различных стадий сбора информации может классифицироваться как неполнота, недостаточность, недоопределенность и неадекватность. Неполнота характеризуется тем, что собрана не вся возможная информация; недостаточность – собрана не вся необходимая информация. Недоопределенность – для некоторых элементов определены не их точные описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат; неадекватность – ряд элементов исследуемого объекта описан по аналогии с уже имеющимися описаниями подобных элементов.

Неоднозначность – это конечная степень неопределенности, когда вся возможная информация собрана, но полностью необходимое описание не получилось.

Причины возникновения неоднозначности могут быть лингвистические и физические.

Физическаянеоднозначность связана либо с наличием нескольких возможностей, каждая из которых случайным образом может стать реальностью, либо с неточностью вычислений или измерений. Таким образом, физическая неопределенность связана или с физической сущностью исследуемого явления, или с его измеряемыми проявлениями.

Лингвистическая неоднозначность связана с использованием некоторого естественного языка. Она порождается, с одной стороны, множественностью значений слов (понятий и отношений) – полисемией, с другой – неоднозначностью смысла фраз.

Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций теории нечетких множеств, а также интервально.

Стохастическое описание используется тогда, когда неопределенные параметры имеют вероятностный (случайный) характер. При этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров. Стохастическим описанием занимается теория вероятностей и теория случайных процессов.

Статистическоеописание является частным случаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки каких-либо характеристик случайной величины или наборы значений некоторых случайных параметров. Статистическим описанием занимается математическая статистика.

При описании с позиции нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, характеризующихся той или иной степенью принадлежности (с помощью так называемой функции принадлежности) объекту, описываемому этим нечетким множеством. Функция принадлежности может принимать значения от 1 (полная принадлежность) до 0 (полная непринадлежность). Интерпретацией функции принадлежности является субъективная мера того, насколько полно элемент (параметр) соответствует понятию, смысл которого описывается нечетким множеством. Этим описанием занимается теория нечетких множеств.

Интервальное описание можно использовать, когда неопределенные параметры заданы только диапазонами возможных значений (верхней и нижней границами), причем параметр может принимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры. Интервальное описание является предметом исследования интервальной математики.

20