7. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины. Задача.

Функция распределения.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Х = х, а вероятностью события X < x, где x – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от x, есть некоторая функция от x. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(X): F(X) = P(X < x).

Основной характеристикой непрерывной СВ является функция распределения/

Функция распределения – это функция F(x) определяющая вероятность того что случайная величина Х в результате испытания примет значения меньше х.

Функцию распределения F(X) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения F(X) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x₂ > x₁  F(x₂) ≥ F(x₁).

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F(-∞) = 0. Следует из определения ФР вероятность того, что СВ в результате испытания примет значение меньше -∞ равна 0 F(-∞) = lim_x->-∞F(x)

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F(+∞) = 1. Следует из определения ФР вероятность того что СВ в результате испытания примет значение больше +∞ F(+∞)=lim_x->+∞F(x)

Плотность вероятности СВ.

Пусть Х – случайная величина. Тогда F(X) – функция распределения.

P(x ≤ X < x+∆x) = F(x+∆x) – F(x).

.

f(x) = F’(x) – плотность вероятности.

Свойства плотности вероятности:

1. f(x) ≥ 0, x ∈(- ∞, + ∞).

2. .

8. Основные характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Задача.

Такие характеристики, назначение которых, выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются численными распределениями СВ.

Из характеристик положения в теории вероятности наиболее важную роль играет мат. ожидание.

Математическим ожиданием дискретной СВ называется сумма произведений всех возможных значений СВ на их вероятности М[X]=∑ⁿ_i=1 x_i*p_i

Математическим ожиданием непрерывной СВ называется определенный интеграл М[X]=∫^b_a x*f(x)dx [a,b] – интеграл возможных значений х.

М не является случайной величиной, а всего лишь показывает, какое значение СВ наиболее вероятно.

Не всякий СВ имеет М.

Свойства мат. Ожидания:

1. если величина Х всегда принимает значение а с вероятностью р=1, то M(x)=а.

2. мат. ожидание обладает свойством линейности M(aX+b)=a*M(x)+b.

3. если Х и У СВ, то M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Дисперсией сл. Величины называется ее центральный момент второго порядка.

Дисперсия св Х есть мат.ожидание квадрата соответствующей св: Д [x]= M[(X^o)²]= M [(X-m_x)²]

Для непрерывной св: Д=∫^b_a (φ(x)-* m_x )² f(x)dx

свойства дисперсии:

1. дисперсия const=0, Д(С)=0

2. Д(СХ)=С² Д(Х)

3. Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У) Х, У- независимые.

4. дисперсия разности двух независимых св равна сумме их Д. Д(Х-У)=Д(Х)+Д(У). Для характеристики асимметрии распределения св служит третий центральный момент через коэффициент асимметрии S_k=μ₃/σ³_x. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться среднеквадратическим отклонением. σ_х=σ[X]=√Д(Х). Для характеристики «крутости» (вершинности) распределение служит 4 –й центральный момент через эксцесс Е_х= μ₄/σ⁴_x ^–3.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.