3. Численные методы решения обыкновенных диф уравнений (понятие разностной производной, численные методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка, Метод Эйлера, методы Рунге-Кутта). Задача.

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка dx/dy = f(x,y) на отрезке [x₀, x_n] при условии y(x₀) = y₀. При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом.

Г еометрическая интерпретация метода Эйлера:

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле

4. Случайное событие и его вероятность. (Понятие случайного события. Вероятность события. Достоверные и невозможные события. Диапазон изменения значений вероятности. Математическое и статистическое определение вероятности.) Задача.

Случайное событие – в тории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Достоверное событие – это такое событие которое в результате опыта непременно должно произойти. Вероятность достоверного события полагается равной единице.

A,B,C … - случайные события. P – вероятность события. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Говорят что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий если в результате опты непременно появится хотя бы одно из них.

Событие A и B называется не совместным если не какие два из них не могут произойти одновременно.

Исходами называются не совместные равновозможные события.

Исход называется благоприятным событию A, если появление этого исхода влечет за собой наступление события A.

С математической точки зрения вероятность СС представляет собой отношение благоприятного числа исходов к общему числу исходов Р_а=m/n

Статическое определение вероятности.

Если произойдет серия из n опытов в каждом из которых могло появиться или не появиться событие A, то частотой события A в данной серии опытов называется отношение числа опытов в которых появилось событие A к общему числу произведенных опытов.

Частоту события называют его статистической вероятностью:

P*(A) = m/n

M – число появление события A в серии оптов.

N – число всех опытов в серии.

Достоверному событию (т.е. событию, которое должно произойти при каждом испытании) приписывают вероятность Р(А)=1.

Невозможному событию (т.е. событие, которое не может произойти ни при одном испытании) приписывают вероятность Р(А)=0.