9. Случайные процессы. (Понятие случайного процесса, реализация и сечение случайного процесса, марковский случайный процесс, марковские цепи).

Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей - семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Случайный процесс (вероятностный, или стохастический), процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. К числу С. п. могут быть причислены и многие производственные процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также ряд процессов, встречающихся в геофизике (например, вариации земного магнитного поля), физиологии (например, изменение биоэлектрических потенциалов мозга, регистрируемое на электроэнцефалограмме) и экономике.

Теория случайных процессов – наука, изучающая закономерности случайных явлений и динамики их развития. Например: напряжение в сети, население в городе, броуновское движение, население города, запуск ракеты в космос и т.д.

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X(t), Y(t) и т.д.

Сечением случайного процесса называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению в момент времени t = t0.

Реализацией случайного процесса X(t) называют конкретный вид случайного процесса, который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до τ

Классификация случайных процессов

Случайный процесс X(t) называется процессом дискретным во времени, если система в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t1, t2,…,tn, число которых конечно или счетно.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход их состояния в состояние может происходить в любой момент времени.

Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина.

Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная величина.

В зависимости от того, дискретны или непрерывны время t и реализации ξ_i(t), различают четыре типа случайных процессов.

1). Случайный процесс общего типа: время t - непрерывно и реализации ξ_i(t) - непрерывны.

2). Дискретный случайный процесс: время t - непрерывно и ξ_i(t) - дискретны.

3). Случайная последовательность: t - дискретно и ξ_i(t) - непрерывны. В литературе случайные процессы этого типа принято называть временными рядами.

4). Дискретная случайная последовательность: t - дискретно и ξ_i(t) - дискретны.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Случайный процесс ξ(t) называется марковским, если его условная плотность вероятности удовлетворяет равенству:

. Таким образом, для марковского процесса случайная величина ξ(t_n) зависит только от ξ(t_n-1) и не зависит от всех ξ(t), t_i < t_n-1. Принято говорить, что марковский процесс помнит свою историю только на один шаг.

Способы описания марковского случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями, зависят от того, в какие моменты времени — заранее известные или случайные — могут происходить переходы («перескоки») системы из состояния в состояние.

Це́пь Ма́ркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого.