1. Погрешность вычисления. (Источники возникновения погрешностей вычисления. Устранимые и неустранимые погрешности. Абсолютная и относительная погрешности). Задача.

Погрешность – оценка отклонения приближенного значения величины от ее точного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Существует 3 источника возникновения погрешностей:

1. погрешности исходных данных - связана с чувствительностью используемых измерительных приборов, вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.

2. погрешность метода - связана со способом решения поставленной математической задачи, появляется в результате подмены исходной модели данных другой моделью или конечной последовательностью других (типовых) моделей;

3. погрешность округления (вычислительная погрешность) связана с необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов применяемой вычислительной техникой.

Таким образом, полная погрешность складывается из трех составляющих.

По возможности контроля за погрешностями они делятся на устранимые и неустранимые.

К неустранимым относятся погрешности исходных данных. Не зависят от выбора метода, от округления. Неустранимую погрешность невозможно уменьшить.

Погрешность метода и погрешность округления относятся к устранимым погрешностям.

По методу вычисления погрешности делят на абсолютную и относительную:

Абсолютная погрешность (классическое определение) – разность между точными и приближенными значениями величины: х – точное значение, х­­­­­¯ - приближенное значение.

E_x=x-х­­­­­¯, с точки зрения численных методов : d_x≥| x-х­­­­­¯|

Относительная погрешность есть величина δ_х= e_x/ х­­­­­¯ или δ_х=d_x/ х­­­­­¯

Рассматривается как безразмерная величина или 100%

Критерий достоверности результата: результаты считаются достоверными, если δ_х составляет не более 5%.

Формулы распространения погрешности. Известны величины х­­­­­¯, y­­­­¯, e_x, e_y, δ_х, δ_у

Абсолютная погрешность:

e_x+-у= e_x +-e_y

e_x*у≈ y­­­­¯*e_x + х­­­­­¯*e_y

e_x/у≈y­­­­¯*e_x + х­­­­­¯*e_y/ y­­­­¯²

Относительная погрешность

δ_х+-у≈ х­­­­­¯* δ_х+- y­­­­¯* δ_у/ х­­­­­¯+-y­­­­¯

δ_х*у≈ δ_х+ δ_у

δ_х/у≈ δ_х- δ_у

2. Точные и приближенные численные методы. Понятие о сходимости приближенных методов. Задача.

Любой численный метод основан решения задачи оптимизации основан на точном или приближенном вычислении ее характеристик (значений целевой функции и функций, задающих границу допустимого множества, а так же их производных). На базе полученной информации строится приближение к решению задачи- искомой точке минимума х* или, если такая точка не единственна, к множеству точек минимума. Иногда, если это требуется, строится приближение к минимальному значению целевой функции f*.

Численные методы по виду полученного результата делятся на точные и приближенные.

Точные – методы, которые приводят к решению за конечное число точных арифметических операций. Такие методы еще называют прямыми или конечно – шаговыми.

Приближенными – методы, которые позволяют получить решение только в пределе (бесконечное число шагов). Еще называются итерационными или бесконечно – шаговыми.

К точным методам относятся: метод Гаусса, симплекс – метод, метод прогонки.

К приближенным – метод простых итераций, метод Якоби, методы безусловной оптимизации (Фибоначчи, золотое сечение).

Приближенные методы порождают последовательность точек в соответствии с предписанным набором правил, включающий критерий окончания.

Эффективность сходящегося метода можно охарактеризовать скоростью сходимости

При заданной начальной точке Х₀ методы генерируют Х⁰, Х¹, Х²,…

Если последовательность Х^к при к→∞ сходится к точному решению Х^*, то метод сходится Х_к→ Х^* при к→∞

Линейно (с линейной скоростью или со скоростью геометрической прогрессии), если существует 0<q<1 и номер Х₀ такие, что при Х> Х₀ || Х^k+1-X^k|| ≤q || X^k- Х^k-1||

Сверхлинейно (со сверхлинейной скоростью), если существует номер Х₀ и последовательность чисел q_к, где q_к ≥0 и lim q_к=0 такие, что при любых Х> Х₀ || Х^k+1-X^k|| ≤q_k || X^k- Х^k-1||

Квадратично, если существует номер Х₀ и число 0<q<1, такие, что при Х> Х₀ || Х^k+1-X^k|| ≤q_k || X^k- Х^k-1||²

Любой приближенный метод представляет собой процедуру последовательного приближения. Погрешность метода оценивается неравенством: | х­­­­­¯-х*|<d

Собственно, погрешность итерационного метода есть || х­­­­­¯-х*||d_n, где n- число итераций, d_n очень зависит от n.

Поскольку приближенные метод являются бесконечно – шаговыми необходимо определить критерий их остановки. Им является выполнение одного из трех ниже перечисленных условий:

1. ||X_k+1-X_k|| <ξ

2. | f (X_k+1)-f(X_k)|<ε

3. || ∆f (X_k)||=(∑ⁿ_i=1( ∂f/∂x_i(X_k)²))^1/2 <ε- для задач безусловной оптимизации.

∑ – погрешность метода, ε – заданная точность

Важной характеристикой бесконечношаговых методов оптимизации является сходимость.

Говорят, что метод сходится если последовательность Х^к ->х* при к→∞, где х*- решение задачи f(x)->min, x€X. Если f(x^k)-> f(x^*) при к→∞, то последовательность x^k называют минимизирующей.

Однако минимизирующая последовательность может и не сходиться к точке минимума. В случае, когда точка х^* не единственна, под сходимостью метода понимается следующие: для каждой точки х^* минимума функции f можно построить данным методом последовательность x^к€X, сходящуюся к х^* при к→∞.