5. Повторные независимые испытания. (Понятие повторных независимых испытаний. Формула Бернулли. Асимптотическая формула Пуассона.) Задача.

Повторными испытаниями называются серии однородных опытов, в результате которого событие А может произойти или не произойти. При этом вероятность события А в каждом из опытов известна и одинакова Р(А) = р. Повторные испытания полагаются независимыми, т.е. каждый следующий опыт не зависит от предыдущего.

Постановка задачи.

Производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А одна и таже и равна р.

Требуется найти вероятность того, что событие А в результате испытаний появится m раз (m ≤ n). Для того, чтобы при n опытах появилось m раз необходимо и достаточно, чтобы появилась одна из последовательностей событий B1, B2,…,Bn. m событий совпадают с А, остальные n-m с . Таких последовательностей событий штук: Р(B1*B2*…*Bn) = Р(B1)*Р(B2)*…*Р(Bn), где В=А или =р^m*(1-р)^n-m.

Рm,n= р^m*(1-р)^n-m – формула Бернулли.

В практических задачах часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях при больших значениях n. В этих случаях вычисления по формуле по формуле Бернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности .

В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии, п  называются асимптотическими.

Если n достаточно велико, а p – величина очень малая, причём произведение np – тоже малая величина, для формулы Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула

Здесь  = np. Эта формула называется формулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа появлений очень редких событий в массовых испытаниях.

6. Понятие случайной величины и ее закона распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины. Задача.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем не известное заранее.

Случайные величины, принимающие изолированные друг от друга значения, назеваются дискретными случайными величинами.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

A – случайное событие.

p – вероятность.

[0;1] B: X∈[0;0.5]

Закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое состояние устанавливающая связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Пример:

X=X1, X=X2 , X=Xn. (Случайные значения величины).

P(X=X1)=P1, P(X=X2)=P2,…,P(X=Xn)=Pn.

Ряд распределения.

X	X1	X2…Xn
P	P1	P2…Pn

В порядке возрастания.

Многоугольник распределения.

Биномиальный закон распределения:

P(X = k)=P_n,к = C_n^k p^k (1-p)^n-k

Закон Пуассона:

P(X = k) = (λ^k/k!)*e^-λ, λ = n·p