Примеры вычисления числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин
1. Индикаторная СВ.
Индикаторная СВ имеет вид:
а ее ЗР:
|
0 |
1 |
|
q |
p |
где
.
Найдем МО и дисперсию этой СВ.
.
.
Окончательно, |
|
,
2. Биномиальная СВ .
Множество возможных значений биномиальной СВ
,
а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
.
Найдем МО СВ .
.
Для
нахождения дисперсии СВ
вычислим вначале
.
.
Теперь для дисперсии СВ получаем выражение:
.
Окончательно, |
|
,
3. Геометрическая СВ .
Множество возможных значений геометрической СВ
,
а вероятности значений определяются по формуле:
.
Найдем МО СВ .
.
Заметим,
что ряд
представляет собой результат
дифференцирования по
геометрической прогрессии
.
Поэтому
.
Для нахождения дисперсии СВ вычислим вначале .
.
Заметим
теперь, что при нахождении МО было
получено, что
.
Поэтому
.
Теперь для дисперсии СВ получаем выражение:
.
Окончательно, |
|
,
4. Пуассоновская СВ .
Множество возможных значений пуассоновской СВ
,
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:
.
Найдем МО СВ .
.
Для нахождения дисперсии СВ вычислим вначале .
Теперь для дисперсии СВ получаем выражение:
.
Окончательно, |
|
,
5. Равномерная СВ .
ПВ СВ , равномерно распределенной на отрезке , имеет вид:
Найдем МО СВ .
.
Найдем далее .
.
Для дисперсии СВ получаем выражение:
.
Окончательно, |
|
,
6. Показательная (экспоненциальная) СВ .
ПВ показательно распределенной СВ имеет вид:
Найдем МО СВ .
.
Найдем далее .
.
Для дисперсии СВ получаем выражение:
.
Окончательно, |
|
,
7. Нормальная (гауссовская) СВ .
ПВ нормально распределенной с параметрами СВ имеет вид:
.
Найдем МО СВ .
Найдем
дисперсию СВ
(причем
в данном случае удобнее пользоваться
выражением для дисперсии
).
.
Окончательно, |
,
|
8. СВ, имеющая распределение Коши.
СВ , распределенная по закону Коши, имеет ПВ вида:
.
Найдем МО этой СВ.
.
В связи с этим
проверим выполнения условие существования
МО, а именно абсолютную сходимость
интеграла
.
.
Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у СВ, распределенной по закону Коши, МО не существует. А, следовательно, у данной СВ не существует дисперсия и другие моменты более высоких порядков.