СЛАУ специального вида
.pdf
СЛАУ специального вида
Методы численного решения СЛАУ
Кафедра теоретической механики
Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
yudintsev@termech.ru
17 марта 2012 г.
Содержание
1 Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
2 Симметричные матрицы
3 Симметричные, положительно определенные системы
4 Источники
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
2 / 32 |
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Ленточные матрицы
Определение 1.
Матрица A называется ленточной, если её элементы aij удовлетворяют условиям aij = 0 при l < i j и j i > m для некоторых неотрицательных чисел l; m.
l + m + 1 – ширина ленточной матрицы
Определение 2.
Если m = 0, то матрица A – левая ленточная Если l = 0, то матрица A – правая ленточная
Определение 3.
Если l = m = 1,то матрица A называется трехдиагональной.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
3 / 32 |
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Ленточные матрицы
|
|
|
1, 4 |
1, 5 |
1, 6 |
|
2, 1 |
|
|
|
2, 5 |
2, 6 |
|
3, 1 |
3, 2 |
|
|
|
3, 6 |
|
|
4, 2 |
4, 3 |
|
|
|
|
|
|
5, 3 |
5, 4 |
|
|
|
|
|
|
6, 4 |
6, 5 |
|
|
Кафедра ТМ (СГАУ) |
|
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
4 / 32 |
||
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Трехдиагональные системы
|
a11 a12 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
: : : |
|
|
|
|
0 |
32 |
x1 |
|
3 |
|
2 |
b1 |
|
3 |
||||||
2a21 |
a22 a23 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
: : : |
|
|
|
|
0 |
x2 |
|
|
b2 |
|
|||||||||||
6 |
0 |
a32 a33 a34 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
:: :: :: |
|
|
|
|
0 |
76 |
x3 |
|
7 |
= |
6 |
b3 |
|
7 |
|||||||
6 |
0 |
0 a43 a44 a45 |
|
|
0 |
|
|
|
: : : |
|
|
|
|
0 |
76 |
x4 |
|
7 |
|
6 |
b4 |
|
7 |
||||||||
6: : : : : : : : : : : : |
: : : |
|
: : : |
|
|
|
|
|
|
: : : |
76 |
: : : |
7 |
|
6 |
: : : |
7 |
||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
7 |
6 |
0 |
: : : |
0 |
0 |
0 |
an |
|
1;n |
|
2 |
an |
|
1;n |
|
|
1 |
an |
|
1;n |
76xn |
|
1 |
7 |
|
6bn |
|
1 |
7 |
|||
6 |
0 |
: : : |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
|
an;n |
|
1 |
|
an;n |
76 xn |
|
7 |
|
6 bn |
|
7 |
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
Задачи, приводящие к необходимости решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей
Сплайн-интерполяция
Задачи аэро-гидро динамики
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
5 / 32 |
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Метод прогонки
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
2A1 C1 |
B1 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
6 |
0 |
A2 |
C2 |
B2 |
0 |
0 |
|
|
6 |
0 |
0 |
A3 |
C3 |
B3 |
0 |
|
|
6: : : : : : |
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
: : : |
0 |
0 |
0 |
An |
|
1 |
6 |
0 |
: : : |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
6 |
0 |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : |
|
0 |
|
32 x1 |
|
3 |
|
2 F1 |
|
3 |
|||||||
|
: : : |
|
0 |
|
76 |
x0 |
|
7 |
|
6 |
0 |
|
7 |
|||||
|
:: :: :: |
|
0 |
|
x2 |
|
= |
F2 |
|
|||||||||
|
: : : |
|
0 |
|
76 |
x3 |
|
7 |
|
6 |
F3 |
|
7 |
|||||
|
|
: : : |
|
76 |
: : : |
7 |
|
6 |
: : : |
|
7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
7 |
|
Cn |
|
1 |
Bn |
|
1 |
76xn |
|
1 |
7 |
|
6Fn |
|
1 |
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
7 |
|
n |
|
1 |
|
76 xn |
|
7 |
|
6 |
n |
|
7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
5 |
||
Aj xj 1 Cj xj + Bj xj+1 = Fj ; j = 1; 2; : : : n 1: |
(1) |
|||||||||||||||||
|
x0 = 0x1 |
+ 0 |
(2) |
|||||||||||||||
|
xn = nxn 1 |
+ n |
(3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
|
17 марта 2012 г. |
6 / 32 |
||||||||||||||
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Метод прогонки
Алгоритм [1]
1 Подставим x0 из (2) в |
(1) |
|
|
|
|
|
|
A1( 0x1 + 0) C1x1 + B1x2 = F1 |
(4) |
||||||
x1 = 1x2 + 1; |
где 1 |
= |
|
B1 |
; 1 = |
A1 0 F1 |
(5) |
|
A1 0 |
C1 A1 0 |
|||||
|
|
C1 |
|
|
|||
2Подставим x1 из (5) в следующее уравнение (1), получим уравнение, связывающее x2 и x3:
|
|
x2 = 2x3 + 2 |
(6) |
||||||||||||||||
или для k |
xk 1 = k 1xk + k 1; k < n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(7) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
|
СЛАУ специального вида |
|
17 марта 2012 г. 7 / 32 |
|||||||||||||||
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Метод прогонки
Алгоритм [1]
1 Подставим x0 из (2) в |
(1) |
|
|
|
|
|
|
A1( 0x1 + 0) C1x1 + B1x2 = F1 |
(4) |
||||||
x1 = 1x2 + 1; |
где 1 |
= |
|
B1 |
; 1 = |
A1 0 F1 |
(5) |
|
A1 0 |
C1 A1 0 |
|||||
|
|
C1 |
|
|
|||
2Подставим x1 из (5) в следующее уравнение (1), получим уравнение, связывающее x2 и x3:
|
|
x2 = 2x3 + 2 |
(6) |
||||||||||||||||
или для k |
xk 1 = k 1xk + k 1; k < n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(7) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
|
СЛАУ специального вида |
|
17 марта 2012 г. 7 / 32 |
|||||||||||||||
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Алгоритм
3 |
Подставим xk 1 в k-ое уравнение системы (1) |
|||||||||||
|
Ak ( k 1xk + k 1) Ck xk + Bk xk+1 = Fk |
|||||||||||
4 |
Разрешаем уравнение (8) относительно xk |
|||||||||||
|
|
|
xk = k xk+1 + k |
|||||||||
|
где |
|
Bk |
|
Ak k 1 Fk |
|
|
|
|
|||
|
k = |
|
; k = |
|
||||||||
|
|
Ck Ak k 1 |
||||||||||
|
|
|
|
Ck Ak k 1 |
||||||||
5 |
Подставим (9) для k = n 1 в (3) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xn = n( n 1xn + n 1) + n |
||||||||||
6 |
xn ! (9) ! xn 1 ! xn 2 : : : ! x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(8)
(9)
(10)
(11)
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
8 / 32 |
Трехдиагональные системы. Метод Прогонки
Алгоритм
3 |
Подставим xk 1 в k-ое уравнение системы (1) |
|||||||||||
|
Ak ( k 1xk + k 1) Ck xk + Bk xk+1 = Fk |
|||||||||||
4 |
Разрешаем уравнение (8) относительно xk |
|||||||||||
|
|
|
xk = k xk+1 + k |
|||||||||
|
где |
|
Bk |
|
Ak k 1 Fk |
|
|
|
|
|||
|
k = |
|
; k = |
|
||||||||
|
|
Ck Ak k 1 |
||||||||||
|
|
|
|
Ck Ak k 1 |
||||||||
5 |
Подставим (9) для k = n 1 в (3) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xn = n( n 1xn + n 1) + n |
||||||||||
6 |
xn ! (9) ! xn 1 ! xn 2 : : : ! x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(8)
(9)
(10)
(11)
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
8 / 32 |