СЛАУ специального вида
.pdf
Симметричные, положительно определенные системы
Положительно определенная матрица
Задачи механики
Общий вид матричного уравнения движения механической системы
H(q)q• + C(q; q) = Q(q; q)
H(q) – обобщенная матрица масс
Кинетическая энергия системы (для стационарных связей)
T = T2 = 12qT H(q)q 0
H(q) – симметричная положительно определенная матрица
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
25 / 32 |
Симметричные, положительно определенные системы
Метод Холецкого
Для симметричной положительно определенной матрицы справедлива теорема:
Theorem
Если матрица A 2 Rn n является симметричной положительно определенной, то существует единственная нижняя треугольная матрица G 2 Rn n с положительными диагональными элементами, такая, что A = GGT .
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.к. A симметричная, то существует LDLT разложение. Т.к. элементы |
|
||||||||||||||||||||||||||
dk положительны (2 следствие), то матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
G = L diag( |
p |
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1; |
d2; : : : |
|
dn) вещественная, нижняя треугольная с |
|
|||||||||||||||||||||||
положительными диагональными элементами и выполняется |
|
||||||||||||||||||||||||||
соотношение A = GGT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Кафедра ТМ |
(СГАУ) |
|
|
|
|
СЛАУ специального вида |
|
|
|
17 марта 2012 г. 26 / 32 |
|||||||||||||||||
Симметричные, положительно определенные системы
Метод Холецкого
Алгоритм
Пусть известны первые j 1 столбцов матрицы G. Приравнивая j-е столбцы уравнения A = GGT :
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk 1 |
G(j; k)G(:; k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A(:; j) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g112 |
g11g21 |
|
g11g31 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
2 g11g21 |
g212 + g222 |
g21g31 + g22g32 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
j столбец |
|
4 g11g31 |
g21g31 + g22g32 |
g312 + g322 |
+ g332 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
3 |
= 2 |
|
|
g11g21 |
3 = g21 |
g11 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|||
2a22 |
|
g212 + g222 |
2g21 |
3 + g22 2g22 |
|
|
||||||||||||||
4a32 |
5 4 g21g31 + g22g32 |
5 |
|
4g31 |
5 |
|
|
4g32 |
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
|
|
СЛАУ специального вида |
|
|
|
|
17 марта 2012 г. 27 / 32 |
||||||||||||
Симметричные, положительно определенные системы
Метод Холецкого
Алгоритм
|
j |
|
|
|
|
Xk 1 |
G(j; k)G(:; k) ! |
||
|
A(:; j) = |
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
Xk 1 |
|
|
G(j; j)G(:; j) = v = A(:; j) G(j; k)G(:; k) |
|||
|
|
= |
|
|
1 |
Вычисление вектора v по известным j 1 столбцам матрицы G. |
|||
|
Вычисление G(j : n; j) = v(j : n)=p |
|
. |
|
2 |
v(j) |
|||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
28 / 32 |
Симметричные, положительно определенные системы
Разложение Холецкого
Алгоритм [3]
for j=1:n
v(j:n)=A(j:n,j)
for k=1:j-1
v(j:n)=v(j:n)-G(j,k)*G(j:n,k)
end
G(j:n,j)=v(j:n)/sqrt(v(j))
end
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
29 / 32 |
Симметричные, положительно определенные системы
Метод Холецкого
Решение СЛАУ
Ax = b ! G GT x = b
|{z}
u
Gu = b ! GT x = u ! x =
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
30 / 32 |
Симметричные, положительно определенные системы
Задание 6
Напишите функцию
x = SolveHol(A,b)
решения системы линейных уравнений с положительно-определенной симетричной матрицей коэффициентов A.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
31 / 32 |
Источники
Список использованных источников
В. Ф. Волков.
Численные методы.
Издательство физико-математической литературы, 2001.
В. Е. Распопов and М. М. Клунникова.
Лекции по курсу ¾Численные методы¿. Сибирский федеральный университет, 2007.
Дж. Голуб and Ч. Ван Лоун.
Матричные вычисления. Мир, 1999.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
СЛАУ специального вида |
17 марта 2012 г. |
32 / 32 |