Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Случайные величины Часть 1

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
16.03.2015
Размер:
734.66 Кб
Скачать

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА КАФЕДРА «ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Курс лекций для студентов, обучающихся по направлению

010400.62 Прикладная математика и информатика

Часть 2 Случайные величины

Лектор: к.ф.-м.н., доцент Коломиец Э.И.

САМАРА 2012

2.1. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Интуитивное представление о случайной величине

Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.

Примеры случайных величин:

а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений); б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);

в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений). Обозначают случайные величины прописными буквами латинского

алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….

Определение случайной величины

Пусть задано некоторое вероятностное пространство ( , , P) .

Определение.

Функция

X

X (

) :

 

называется

случайной

величиной, если для любого x

множество

 

 

 

 

 

 

 

 

{ : X ( ) x} ( X x)

 

 

 

является событием, то есть ( X

x)

.

 

 

 

 

 

Смысл приведенного определения случайной величины состоит в

требовании

того,

чтобы

у подмножества ( X x)

была

определена его

вероятность при любом x

.

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Говорят,

что

функция

X

X ( ) :

 

является

-измеримой, если множество {

: X (

)

x}

для любого x

.

 

Таким образом, случайная величина есть

-измеримая

функция,

ставящая

в

соответствие

каждому

элементарному

исходу

число

X ( )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения случайной величины и свойств

-алгебры вытекает, что

событиями являются также следующие подмножества, связанные со случайной величиной X :

 

 

 

 

(X

x) (X x) ;

(x1

X x2 ) ( X x2 ) ( X x1) ;

( X x)

X x

1

;

 

n

 

n 1

 

 

 

 

2

( X x)

x X x

1

,

 

n

 

n 1

 

 

 

 

и любые другие, получающиеся из них с помощью выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, приведенное определение случайной величины эквивалентно тому, что попадание случайной величины

X

в любое борелевское множество на числовой прямой является событием:

{

: X ( ) B}

для любого B

(

) .

 

 

 

Заметим, что, если в -алгебре

содержатся все подмножества

(как,

например, в случае конечного или

счетного

), то случайной величиной

является любая числовая функция X

X ( ) . В общем случае это не так.

 

Определение функции распределения случайной величины

Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и делать это одним и тем же способом для любых случайных величин, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.

Определение.

Функцией распределения

случайной величины

X

называется функция

FX (x) F(x) :

0,1 , определенная при каждом

x

равенством:

 

 

 

 

 

F (x) P{ : X ( ) x} P( X x) .

 

Из определения случайной величины следует, что ее функция

распределения F (x)

определена для любого x

.

 

Геометрически функция распределения F (x) означает вероятность попадания случайной точки X левее заданной точки õ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

X ( 2 )

X (

1 )

 

 

 

Свойства функции распределения

 

 

 

Функция распределения F (x)

является исчерпывающей вероятностной

характеристикой случайной величины, поскольку позволяет определять вероятности любых событий с ней связанных. Это вытекает из следующих ее свойств функции распределения.

F0). 0 F (x)

1 для любого x

.

 

(свойство следует из определения, так как F (x) - вероятность).

F1). Функция распределения F (x) является функцией неубывающей:

если x1 x2 , то F (x1) F (x2 ) .

 

 

 

▲ Если x1

x2 , то ( X

x1)

( X

x2 ) . Поэтому в силу свойства 3

вероятности F (x1)

P( X x1)

P( X

x2 )

F (x2 ) ■.

3

 

F2). F (

 

)

lim F(

n)

 

0,

F(

)

 

lim F(n)

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в

следующем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (

)

P( X

 

 

 

)

 

P(

)

0 в силу свойства 2 вероятности;

 

 

 

 

F (

)

P( X

 

 

 

)

 

P(

)

1 в силу аксиомы нормированности Р2).

 

 

Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы

непрерывности Р4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

события

Bn

( X

n),

n

1, 2,.... Нетрудно

заметить,

что

последовательность событий

{Bn}n 1

удовлетворяет свойствам:

1)

Bn 1

Bn ;

2)

Bn

. Поэтому в силу аксиомы непрерывности

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P(Bn )

lim F (

n)

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойствам

аксиомы

непрерывности

удовлетворяют

также

события

Cn

( X

n) ,

 

n 1, 2,...

 

 

и

поэтому

 

 

lim P(Cn )

0 .

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

F (n)

P( X

n)

1

 

P(Cn ) , то lim F (n)

 

1 ■.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F3). Функция распределения F (x) является функцией непрерывной слева,

то есть для любого x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x 0) F (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где F(x

0)

lim F(x

1

) - предел слева функции распределения в точке х.

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

▲ Рассмотрим события

Bn (x

1

 

X

x) ,

n

1, 2,.... В силу аксиомы

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непрерывности lim P(Bn )

0 . Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x) P(X x) P(x

 

1

 

X x) P( X x

 

1

) P(B ) F(x

1

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то F(x)

lim F(x

 

1

)

F(x

0) ■.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Отметим, что если функцию распределения определить как

F (x) P( X

x) , то она будет функцией непрерывной справа.

 

 

 

 

 

 

Замечание. Свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс функций

распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства).

 

 

Если функция F :

 

 

 

0,1

удовлетворяет свойствам F1), F2) и F3), то F

есть

функция

распределения

некоторой

случайной

величины

X ,

то

есть

найдется вероятностное пространство ( ,

, P) и такая случайная величина на

этом пространстве, что FX (x)

F (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

F4). Для любого x

 

 

 

P( X x) F (x 0) F (x)

F (x) ,

 

 

где

F(x

0)

lim F(x

 

1

) - предел справа функции распределения в точке х,

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

F (x)

F (x

0) F (x)

- величина скачка функции распределения в точке x .

 

 

Следствие. Если

 

функция распределения непрерывна в точке

x ,

то

P( X

x) 0 .

Если функция распределения непрерывна для любого x

,

то

P( X x) 0 для любого x

.

 

 

▲ Поскольку справедливо представление

 

 

( X x

1

) (X x) (X x) (x X x

1

)

 

 

 

n

 

n

и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности

 

F(x

 

1

) F(x) P( X x) P(x X x

1

) .

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

Доказательство свойства следует из того, что последовательность

событий B (x

X

x

 

1

) , n 1, 2,... удовлетворяет аксиоме непрерывности и

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому lim P(x

X

x

 

 

1

) 0 ■.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

F5). Для любого x

P( X x) F (x 0) .

▲ Действительно,

P( X x) P( X x) P( X x) F (x) F (x) F (x 0) ■.

Замечание. Геометрически свойства F3), F4) и F5) означают следующее. В точках x , где функция распределения имеет разрыв 1 рода, то есть когда F (x 0) F (x 0) , за значение функции распределения принимается левое

(нижнее, меньшее). При этом вероятность события ( X x) является ненулевой и ее значение равно величине скачка F (x) . В точках непрерывности функции распределения свойства F3) F4) и F5) содержательными не являются.

5

F(x)

x

x

 

F6). Вероятность попадания случайной величины X в интервал [a,b) определяется как приращение функции распределения на этом интервале:

для любых a,b

: a

b

 

 

 

P(a X b) F (b) F (a) .

▲ Поскольку ( X

b)

( X

a)

(a X b) и события в сумме являются

несовместными, то в силу аддитивности вероятности

 

P( X b) P( X a) P(a X b)

или, что эквивалентно,

 

 

 

 

 

F (b) F (a) P(a X b) ■.

F7). P(a X b)

F (b

0)

F (a) .

F8). P(a X b)

F (b)

F (a 0) .

F9). P(a X b)

F (b

0)

F (a

0) .

(Доказать свойства F7), F8) и F9) самостоятельно).

В общем случае график функции распределения может иметь вид:

F(x)

 

1

 

 

 

P(X b)

 

 

P( X a)

P(x1 X x2 )

 

 

x1

a x2 b

x

 

6

В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.

2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение. Случайная

величина

X , заданная на вероятностном

пространстве (

, , P) ,

называется дискретной, если множество ее возможных

значений

конечно или счетно:

 

 

 

 

 

 

 

 

{x1, x2 ,..., xn} или

{x1, x2 ,..., xn ,...}.

 

 

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной

величины

X

достаточно указать

все ее

возможные значения

xk

и

вероятности pk

P( X xk ) , с которыми эти значения принимаются,

k

1,2, .

При этом, поскольку события

( X

xk ) , k

1,2, , образуют полную группу

событий, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( X

xk )

pk

1 (условие нормировки).

 

 

 

 

k

 

k

 

 

 

 

Подобную информацию о дискретной случайной величине записывают в виде таблицы:

X

x1

x2

 

xn

 

(2.1)

P

p1

p2

 

pn

 

 

 

 

которую называют законом распределения дискретной случайной величины X или рядом распределения.

Закон распределения (2.1) является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем функция распределения, и его задание полностью эквивалентно заданию функции распределения.

Действительно, функция распределения дискретной случайной величины определяется по закону распределения (2.1) с помощью формулы:

F (x) P( X x)

pk . (2.2)

k: xk x

Подробнее в случае конечного числа значений дискретной случайной величины формула (2.2) выглядит следующим образом:

7

 

 

0,

x

x1;

 

 

 

 

 

p1,

x1

x

x2 ;

 

 

 

F (x)

p1

p2 , x2

x x3;

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

pk

1 , x

xn .

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

График функции распределения дискретной случайной величины

является

кусочно-постоянным

со

скачками в

точках xk

равными

pk P( X

xk ) F (xk ) , k 1,2,

, n .

Это означает,

что закон

распределения

(2.1) по функции распределения (2.2) всегда можно однозначно восстановить.

1 F(x)

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

pk

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

 

 

 

 

 

x

 

x1

x2

0

xk 1

xk

xn 1 xn

 

 

 

Вероятность

попадания

дискретной

случайной

величины X в любое

борелевское множество

на

числовой

прямой B

( ) определяется по

формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( X B)

k: xk

pk .

 

 

 

 

 

 

 

B

 

Отметим, что через функцию распределения вероятность P( X B) в явном виде может и не выражаться.

2.3.Важнейшие дискретные случайные величины

иих законы распределения

1.Вырожденная случайная величина.

Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: X X ( ) C для любого .

Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:

X С

P 1

8

Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:

 

F (x)

0, x

C;

 

1 , x C.

 

 

 

F(x)

 

 

 

1

 

 

 

0

С

x

2. Индикаторная случайная величина.

 

С любым случайным событием А можно связать случайную величину

вида:

 

 

 

X

I A ( )

1,

A; .

 

 

0 ,

A.

Случайная величина X

I A называется индикатором случайного события

А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения x1 0 и x2 1, при этом

P( X 1) P( A) p , P(X 0) P( A) 1 p q .

Закон распределения индикаторной случайной величины имеет вид:

X 0 1

P q p

Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:

 

0, x

0;

F (x)

q , 0

x 1;

 

1 , x

1.

F(x)

 

 

1

 

 

q

 

 

0

1

x

3. Биномиальная случайная величина.

Биномиальной называется дискретная случайная величина X , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Множество возможных значений биномиальной случайной величины:

{0,1,...,n} {xk k, k 0,n} .

9

Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p P(X k) P (k) Ck pk qn k , k 0,n .

k

 

n

n

Закон распределения имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

1

 

 

n

 

 

 

0

 

 

 

 

 

P

qn

npqn 1

 

 

pn

 

и называется биномиальным законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:

n

n

 

p

Ck pk qn k

( p q)n 1.

k

n

 

k 0

k 0

 

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины:

XBi(n, p) .

4.Геометрическая случайная величина.

Геометрической называется дискретная случайная величина X , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:

{1, 2,..., n,...} {xk k, k 1, 2,...} .

Вероятности значений определяются по формуле:

 

p

P(X

k)

qk 1 p, k 1,2,....

 

k

 

 

 

 

 

Закон распределения имеет вид:

 

 

 

 

X

 

2

 

n

 

 

1

 

 

 

P

p

qp

 

qn 1 p

 

и называется геометрическим законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

p

qk 1 p

p

1

 

p

1 .

 

 

 

 

 

 

k

 

 

1 q

 

p

 

k 1

k 1

 

 

 

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины:

XG( p) .

5.Пуассоновская случайная величина.

10