Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество ее возможных значений конечно или счетно:

или .

Для полной вероятностной характеристики ДСВ достаточно указать все ее возможное значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, . При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то

(условие нормировки).

Подобную информацию о ДСВ записывают в виде таблицы:

						(2.1)

которую называют законом распределения (ЗР) ДСВ или рядом распределения.

ЗР является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем ФР, и его задание полностью эквивалентно заданию ФР.

Действительно, ФР ДСВ определяется по ЗР (2.1) с помощью формулы:

. (2.2)

В случае конечного числа значений ДСВ подробнее формула (2.2) выглядит следующим образом:

График ФР ДСВ является кусочно-постоянным со скачками в точках равными , (см. рисунок ниже). Это означает, что ЗР (2.1) по ФР (2.2) всегда можно однозначно восстановить.

Вероятность попадания ДСВ в любое множество В на числовой прямой определяется по формуле:

.

Отметим, что через ФР вероятность в явном виде может и не выражаться.

Важнейшие дискретные случайные величины и их законы распределения

1. Вырожденная СВ.

Любую константу С можно рассматривать как СВ, принимающую одно значение: для любого .

Закон распределения вырожденной СВ имеет вид:

	С
	1

Выражение для ФР вырожденной СВ и ее график также имеют вырожденный вид:

С

x

F(x)

1

0

2. Индикаторная СВ.

С любым случайным событием А можно связать СВ вида:

.

Случайная величина называется индикатором случайного события А или индикаторной СВ. Она принимает только два значения и , при этом

, .

Закон распределения индикаторной СВ имеет вид:

	0	1
	q	p

Аналитическое выражение и график ФР имеют вид:

x

3. Биномиальная СВ.

Биномиальной называется ДСВ , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Множество возможных значений биномиальной СВ:

.

Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

.

Закон распределения имеет вид:

	0	1		n

и называется биномиальным законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:

.

(Записать аналитическое выражение для ФР и построить ее график самостоятельно).

Сокращенная запись для биномиальной СВ: .

4. Геометрическая СВ.

Геометрической называется ДСВ , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Геометрическая СВ имеет счетное множество возможных значений:

.

Вероятности значений определяются по формуле:

.

Закон распределения имеет вид:

	1	2		n

и называется геометрическим законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

(Записать аналитическое выражение для ФР и построить ее график самостоятельно).

Сокращенная запись для геометрической СВ: .

5. Пуассоновская СВ.

Пуассоновской называется целочисленная СВ, множество возможных значений которой

,

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:

.

Число называется параметром пуассоновской СВ.

Закон распределения имеет вид:

	0	1		n

и называется пуассоновским законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

.

(Записать аналитическое выражение для ФР и построить ее график самостоятельно).

Сокращенная запись для пуассоновской СВ: .