Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей

Определение. СВ называется непрерывной или имеющей непрерывный закон распределения (НСВ), если существует такая функция , что для любого ФР СВ допускает представление:

. (2.3)

При этом функция называется плотностью вероятностей (ПВ) (плотностью распределения вероятностей, плотностью распределения) СВ .

Замечание. Для существования интеграла (2.3) предполагается, что ПВ является функцией непрерывна всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Из определения следует:

1. Если СВ является непрерывной, то ее ФР непрерывна на всей числовой прямой.

(Следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

Следствие. Если СВ является непрерывной, то

для любого . (2.4)

2. Если СВ является непрерывной, то ее ФР является дифференцируемой во всех точках, где ПВ непрерывна, и при этом справедливо равенство

. (2.5)

(Также следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

В точках, где ПВ непрерывной не является, производная ФР не существует. Это означает, что в этих точках ФР , являясь функцией непрерывной, имеет излом, так что . Но таких точек в соответствии с замечанием не более конечного числа и в них ПВ может быть задана произвольно (на величине интеграла (2.3) и на вероятностях событий, связанных с НСВ, в соответствии с (2.4) это никак не отражается).

Графическая иллюстрация.

Из равенства (2.5) и определения производной следует, что

.

Интерпретируя вероятность как массу, приходящуюся на интервал , отношение представляет собой среднюю плотность массы на этом интервале, а в пределе при получаем плотность массы в точке х. Это оправдывает использование термина «плотность» для функции .

Формулы (2.3) и (2.5) показывают, что между ФР и ПВ существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому по аналогии с дискретным случаем ПВ можно называть ЗР НСВ.

Свойства плотности вероятностей.

1. Для любого .

▲ Поскольку ФР является функцией неубывающей, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.

2. - условие нормировки.

▲ Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойством 3 ФР ■.

3. Вероятность попадания НСВ в интервал определяется как интеграл от ПВ по этому интервалу:

для любых

. (2.6)

▲ Поскольку в соответствии со свойством 5 ФР , то свойство непосредственно вытекает из представления (2.3):

■.

Следствие. Для непрерывной СВ

и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).

Графическая иллюстрация ФР и ПВ НСВ.

Важнейшие непрерывные случайные величины

1. Равномерная СВ.

Говорят, что НСВ имеет равномерное распределение (равномерный ЗР) на отрезке , если множество ее возможных значений , а ПВ постоянна на этом отрезке:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть .

Таким образом, равномерно распределенная СВ имеет ПВ:

и для нее используется сокращенная запись: .

Найдем ФР СВ .

Для этого рассмотрим три случая:

а) если , то ;

б) если ,то ;

в) если , то .

Окончательно имеем:

Графики ПВ и ФР СВ имеют вид:

2. Показательная (экспоненциальная) СВ.

Говорят, что НСВ имеет показательное распределение (показательный, экспоненциальный ЗР), если множество ее возможных значений , а ПВ имеет вид:

- параметр показательного распределения.

Сокращенная запись для показательной СВ: .

Проверим условие нормировки.

при любом .

Найдем ФР СВ .

Для этого рассмотрим два случая:

а) если , то ;

б) если , то .

Окончательно имеем:

Графики ПВ и ФР СВ имеют вид:

3. Нормальная (гауссовская) СВ.

Говорят, что НСВ имеет нормальное распределение (нормальный, гауссовский ЗР) с параметрами , если множество ее возможных значений , а ПВ имеет вид:

.

Сокращенная запись:

Кривая ПВ СВ имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке .

Проверим условие нормировки:

для любых значений параметров а и (при этом был использован известный в анализе факт, что - интеграл Пуассона).

В зависимости от изменения параметров ПВ нормального закона распределения меняется следующим образом.

Если параметр фиксирован, то при изменении а кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение СВ.

Изменение при фиксированном а равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении ПВ становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметр является параметром масштаба.

Также параметр характеризует степень разброса значений СВ около среднего значения а в следующем смысле. Чем меньше , тем больше при фиксированном вероятность вида , как площадь под соответствующей ПВ или, другими словами, тем при меньшем можно получить заданную вероятность вида . Это означает, что при уменьшении значения СВ более плотно группируются около а, то есть степень разброса значений СВ около среднего значения а меньше.

Если и , то нормальный ЗР называется стандартным, его ПВ имеет вид:

и называется функцией Гаусса.

ФР СВ имеет вид:

и не выражается в элементарных функциях. Функцию называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей). Графическая иллюстрация приведена на рисунке ниже.

Свойства функции Лапласа :

1. ;

2. для .

Значения функции Лапласа для табулированы.

ФР СВ также выражается через функцию Лапласа :

.

Вероятность попадания СВ в заданный интервал определяется по формуле:

.

Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания СВ в интервал длины , симметричный относительно точки .

.

Далее, если положить и учесть, что , то получаем:

.

Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения СВ находятся внутри интервала в том смысле, что вероятность СВ принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала ( ).

Графическая иллюстрация.

Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики.

5. СВ, имеющая распределение Коши.

Говорят, что НСВ имеет ЗР Коши, если множество ее возможных значений , а ПВ имеет вид:

.

ФР СВ, распределенной по закону Коши, имеет вид:

.

Графики ПВ и ФР СВ, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом: