21. Рівняння площини синхронізації.

Розглянемо рисунок:

Просторова площина, утворена двома наземними пунктами АР і супутником в момент спостереження супутника отримала назву площини синхронізації. Позначимо вектори, що утворюють цю площину . Якщо прийняти, що зроблена побудова співставлена з просто ровою системою координат X, Y, Z, орти в якій i, j, k, то рівняння кожного вектора буде записано:

Тут l, m, n напрямні косинуси, що визначаються для даних векторів за відомими формулами:

З аналогічної геометрії відомо, що рівняння довільної площини записуємо:

де A, B, C, D – коефіцієнти.

Ці коефіцієнти в формулі можна трактувати як складові вектора нормального до площини синхронізації ACP. Рівняння нормального вектора з коефіцієнтами A, B, C:

З іншої сторони відомо, що нормальний вектор визначається векторним добутком, які утворюють цю площину:

Якщо ( ) підставимо в ( ), то:

Співставляючи ( ) і ( ) встановлюють значення коефіцієнтів A, B, C:

Підставимо в ( ) відповідні вирази з ( )

Поділимо праву частину всіх формул на …… отримаємо:

Формули ( ) розв’язують поставлену задачу з визначення коефіцієнтів площини синхронізації.

22. Рівняння хорд

Відомо, що дві площини синхронізації в просторі перетинаються по хорді АР яку позначимо через D. Якщо напрямні косинуси цього вектора позначити відповідно L, M, N, а орти просторової прямокутної системи координат i, j, k, то рівняння вектора D запишемо:

Оскільки вектор D утворений перетинам двох площин, то його значення може бути визначене векторним добутком нормальних векторів цих площин:

Відомо, що всякий нормальний вектор може бути визначений через вектори а1, а2:

Підставляючи в ( ) вираз для нормальних векторів отримаємо, що:

Співставляючи ( ) і ( ) встановлюємо, що коефіцієнти і ( ) будуть дорівнювати:

Значення А, В, С з відповідними індексами визначають за формулами ( ) із врахуванням ( ). Таким чином встановлюється рівняння для хорди.

Визначимо для хорди орієнтуючі кути.

По аналогії для напрямних косинусів хорди отримаємо:

Піднявши до квадрату перших два рівняння () і просумувавши:

Формули () і () з врахуванням () однозначно визначають хорду в просторі як повеличині так і її орієнтування. При опрацювання супутникових геодезичних мереж довжина хорди і елементи її орієнтування вважають величинами виміряними, які підлягають зрівноваженню при опрацюванні мережі.

23. Формули визначення координат вершин супутникової тріангуляції методами полярної засічки просторової кутової засічки, просторової лінійної засічки і за сферичними координатами і різницями відстаней.

Елементарними фігурами в супутниковій мережі називаються такі, в яких для визначення координат відповідних елементів використовуються тільки необхідні виміри. Елементи, координати яких визначаються можуть бути як супутники так і точки земної поверхні.

Полярна засічка

Відомо, що полярною засічкою називають фігуру для елементів якої відомі орієнтуюючі кути відповідних векторів івідстані. Якщо для вектора а відома відстань r і орієнтуючі кути …., то знабчи координати точки А визначають координати точки С за формулами:

Просторова кутова засічка

Для визначення координат точки С за відомими координатами точок А і В можемо ааписати:

Система рівнянь ( ) складається із 6 рівнянь, в яких невідомими є 5 елементів X, Y, Z, r1, r2. Розв’язуючи ці рівняння отримують, що:

Просторова лінійна засічка

Просторову лінійну засічку реалізуюють в методі лазерних спостережень за результатами яких визначають відстані до супутника. Кожна така відстань дозволяє скласти наступне рівняння:

( ) є 3 невідомих координати X, Y, Z і для визначення необхідно скласти не менше 3 рівнянь виду аналогічного до ( ), а це означає, що просторова лінійна засічка може бути реалізована тільки у випадку, коли ведуться спостереження з 3 точок, координати яких відомі.

Визначення координат наземного пункта за сферичними координатами і різницями відстаней

Незай на земній поверхні відома точка задана координатами X, Y, Z з якої виконуються синхронні фотографічні спостереження на супутник.

Приймемо, що за результатами синхронних спостережень з точок А і Р визначалися сферичні екваторіальні координати …..всіх напрямків, а застосовуючи доплеровські спостереження визначали

Тоді геоцентричні координати супутника в векторному виді можуть бути визначені такими рівняннями:

Утворимо різниці цих рівнянь. Маємо:

Ліва сторона характеризує вектор D між точками А і Р. Прирівнююч ці вирази отримаємо:

Зробимо заміни в цьому рівнянні використовуючи ( )

Оскільки напрямними косинусами векторів а є:

то рівняння ( ) чечрез напрямні косинуси запишеться:

Система рівнянь ( ) має 2 невідомих r3 і r1, що дозволяє їх визанчити як координати пунктів. Таким чином координати невідомої точки Х …буде дорівнювати:

Для контролю обчислень координат точки Р можна використати дані спостереження супутника в точці С2 і по аналогії з ( ) обчислити координати невідомої точки за допомогою відстаней r3 і r4.