Тема 5. Решение диофантовых уравнений

Мы рассмотрим несколько примеров нахождения целочисленных решений алгебраических уравнений с несколькими переменными (диофантовых уравнений).

Пример 9. Найти все решения линейного уравнения 5х-7у=13, х,уZ.

Решение. Сведем к примеру 8: 5х  13 (mod 7)  х  4 (mod 7)  х  4 (mod 7), т.е. х=4+7k, kZ, а тогда из исходного уравнения . Итак, х=4+7k, у=1+5k, kZ.

Пример 10. Уравнение Пифагора х²+у²=z² имеет «основную» серию решений х=2МN, у=N²-M², Z=N²+M², где N,M – натуральные числа, N>M, N-M – нечетное число. Остальные решения уравнения Пифагора получаются заменами ху; х-х; у-у; z-z; (x,y,z)(kx,ky,kz), kZ; x=0, y=z и т.д.

В частности, при М=1, N=2 получим х=4, у=3, z=5 – стороны знаменитого египетского треугольника.

Пример 11. Найти все целочисленные решения уравнения х²+6ху+5у²=12.

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения: (х+5у)(х+у)=12. Тогда х+5у, х+уZ, (х+5у)-(х+у)=4у – делится на 4. Поэтому имеем только 4 возможности:

т.е. (1;1), (7;-1), (-1;-1), (-7;1) – искомые решения.

Отметим, что не существует общего алгоритма для решения диофантовых уравнений.

Тема 6. Приближение вещественных чисел рациональными

В этой большой классической теме мы ограничимся только одной задачей: приближением с помощью последовательностей Фарея.

Определение 4. Последовательностью Фарея порядка n называется множество , состоящее из всех несократимых дробей, знаменатель которых не превосходит n, записанных в порядке возрастания.

Например, .

Следующая теорема описывает рекуррентную процедуру, позволяющую строить F_n.

Теорема 3. 1) Если - две соседние дроби в F_n, то a₂b₁-a₁b₂=1. 2) Алгоритм перехода от F_n к F_n+1 осуществляется следующим образом. Рассмотрим - две соседние дроби в F_n. Если b₁+b₂>n+1, то между не появляется нового элемента. Если b₁+b₂=n+1, то между появляется единственный новый элемент – медианта этих дробей: .

Следующая теорема, принадлежащая Гурвицу, доказывается с помощью последовательностей Фарея. Она позволяет строить бесконечную последовательность хороших рациональных приближений для иррациональных чисел.

Теорема 4. Если  - вещественное иррациональное число, то существует бесконечно много несократимых дробей таких, что

. (12)

Пример 12. Найти следующее после приближения Архимеда рациональное приближение для числа =-3, удовлетворяющее неравенству (12).

Решение. Будем искать необходимое рациональное приближение среди соседних k дробей в F_n. Отметим, что =0,1415926… Начнем с F₅: Далее увеличиваем n, используем утверждение 2) теоремы 3.

F₆: F₇: F₈:

F₁₅: F₂₂: F₂₉: …

F₁₀₆: F₁₁₃:

Пусть . Тогда , т.е. ответом к данному примеру является приближение .

Тема 7. Кольца и поля

Определение 5. Непустое множество К с двумя б.а.о. + (сложение) и (умножение) называется кольцом, если

1) К является абелевой группой относительно операции +;

2) умножение ассоциативно;

3) выполняются свойства дистрибутивности:

для всех а,b,cK: (a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.

Если для операции умножения существует единичный элемент, то К – кольцо с единицей, если операция умножения коммутативна, то К – коммутативное кольцо. Приведем четыре основных примера колец:

I. Z – кольцо целых чисел.

II. - кольцо вычетов по modm.

III. R[x] – кольцо многочленов от х с коэффициентами – вещественными числами.

IV. Mat(n;R) – см. пример 3.

Кольца в I-III являются коммутативными с единицей, кольцо в IV – некоммутативное с единицей.

Определение 6. Коммутативное кольцо с единицей, все ненулевые элементы которого обратимы относительно операции умножения, называются полем.

Простейшими примерами полей являются Q, R, C, Z_p.

Рассмотрим подробнее кольцо многочленов от х с коэффициентами в поле . Если

f(x)

то n=degf(x) – степень многочлена f(x), a_n – старший коэффициент.

Пусть f(x), g(x) , 1 deg g(x)deg f(x). Тогда с помощью, например, процедуры «деления столбиком», можно получить представление вида

f(x)=A(x)g(x)+r(x), (13)

где А(х), r(x) , deg r(x)<deg g(x).

Если в формуле (13) остаток r(x)=0, то говорят, что f(x) делится на g(x).

Определение 7. Многочлен f(x) называется проводимым в кольце , если существуют многочлены f₁(x), f₂(x) такие, что f(x)= f₁(x) f₂(x), deg f₁(x)1,deg f₂(x)1. В противном случае многочлен f(x)называется неприводимым в .

Определение 8. Пусть f(x), g(x) , deg g(x)1, deg f(x)1, f(x)= А(х) r(x), g(x)=B(x)g(x), A(x), B(x), g(x) . Тогда g(x) – общий делитель многочленов f(x) и g(x). Если deg g(x) – максимально возможная, старший коэффициент многочлена g(x) равен 1, то g(x) называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x): g(x)=НОД(f(x),g(x)). В случае g(x)=1 многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми.

Алгоритм деления с остатком позволяет найти НОД(f(x),g(x)). Эта идея принадлежит Евклиду, который применил ее для нахождения НОД натуральных чисел.

Пример 13. Найти НОД (119,187) с помощью алгоритма Евклида.

Решение. Будем последовательно делить с остатком 187 на 119, затем 119 на остаток и т.д. вплоть до получения нулевого остатка:

187=1119+68: 119=168+51; 68=151+17; 51=317+0.

Последний ненулевой остаток равен искомому НОД, т.е. НОД(119,187)=17.

Другой вариант нахождения НОД связан с разложением чисел в произведение простых чисел. В нашем случае 119=717; 187=1117; НОД(119,187)=17.

Пример 14. Найти НОД(х³+х²-2, х⁴+2х³+3х²+2х+2) с помощью алгоритма Евклида.

Решение. Для многочленов действуем как в примере 13 с использованием последовательного деления с остатком в форме (13). В рассматриваемом случае

х⁴+2х³+3х²+2х+2=(х+1)(х³+х²-2)+2х²+4х+4;

х³+х²-2= (2х²+4х+4)+0,

т.е. искомый НОД= (2х²+4х+4)=х²+2х+2, где мы учли требование к НОД в определении 8: старший коэффициент НОД должен быть равен 1.

Пусть g(x) , deg g(x)1, g(x) – неприводим.

Для любого f(x) получим представление(13). Обозначим - вычет многочлена f(x) по модулю g(x). Операции на множестве вычетов вводятся стандартно:

Неприводимость многочлена g(x) обеспечивает справедливость важного факта: множество всех вычетов образует поле. Например, в случае g(x)=х²+1 получаем поле, изоморфное полю комплексных чисел С. Действительно, ; все операции с остатками r(x)=a+bx, a,bR, идентичны введенным в теме 1 операциям с комплексными числами a+bi.

Пример 15. Рассмотрим поле вычетов в кольце , где (см. тему 4) по модулю неприводимого в многочлена g(x)=x³+x²+ . Найти в этом поле вычетов .

Решение. Применим сначала алгоритм Евклида аналогично примеру 14:

x³+x²+ =х ; (14)

. (15)

Выразим из (14) через g(x) и и подставим в (15): = x³+x²+ ,

= (x³+x²+

Поэтому

Далее мы приведем тематику и примерный вариант контрольной работы и 25 вариантов расчетно-графической работы с небольшими пояснениями.

Вариант контрольной работы состоит из 5 задач:

1. Вычисления с комплексными числами.

Найти и все значения .

2. На данном множестве Х задана операция. Проверить, что задана б.а.о. Обладает ли эта операция свойствами ассоциативности (а), коммутативности (к), наличием единичного элемента (е). Составить еще одну б.а.о., обладающую данным набором свойств.

Пример. Х=N, ab=ab+a-b. Составить на N б.а.о., обладающую набором свойств ( ).

3. Найти все перестановки хS₅, удовлетворяющие уравнению fx²=h для заданных fhS₅.

Пример.

.

4. Найти две последние цифры в десятичной записи числа N на число n.

Пример. N=7¹⁰⁰, n=19.

5. Найти все целочисленные решения данного уравнения.

Пример. х²+5ху+4у²=18.

Указания к решению задач:

1. задача 1 решается с помощью формул (3) и (4);

2. для решения задачи 2 полезно изучить весь материал, приведенный в теме 2, в частности, примеры 3 и 4, подробно разобранные в этой теме;

3. упростим заданное уравнение: x²=f^-1h, далее применяем правила действия с перестановками, приведенные в теме 3;

4. задача 4 аналогична примеру 7, рассмотренному в теме 4;

5. для решения задачи 5 необходимо изучить тему 5.

Вариант расчетно-графической работы состоит из семи задач, далее задания 1-7.