Тема 4. Теория сравнений

Везде далее в этой и следующей теме 5 все a,b,c,… - целые числа; m – натуральное число, m2; р,р₁,р₂,… - простые числа; (а,b) обозначает НОД (наибольший общий делитель) целых чисел a и b; если (а,b)=1, то числа a и b называются взаимно простыми.

Определение 3. Числа a и b называются сравнимыми по модулю m: a  b(mod m), если a – b без остатка делится на m.

Это определение равносильно тому, что числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Отношение сравнимости является отношением эквивалентности, т.к. легко проверяются: рефлексивность: a  a (mod m),

симметричность: a  b(mod m)  b  a (mod m) и

транзитивность: a  b(mod m)  b  с (mod m)  a  с(mod m).

Приведем еще ряд свойств сравнений.

1. Если m₁ – делитель m, то a  b(mod m)  a  b(mod m₁).

2. Сложение: a₁  b₁(mod m), a₂  b₂(mod m)  a₁ +а₂  b₁+b₂(mod m).

3. Умножение на kZ:

a  b(mod m)  ak  bk (mod mk), тогда в силу свойства 1 ak  bk (mod m).

4. Умножение сравнений:

a₁  b₁(mod m), a₂  b₂(mod m)  a₁а₂  b₁b₂(mod m).

5. Возведение в степень: a  b(mod m)  aⁿ  bⁿ(mod m₁), где n – любое натуральное число.

6. Сокращение сравнений: ak  bk (mod mk)  a  b(mod m₁).

7. Сокращение на взаимно простое с m число: если (с,m)=1, то aс  bс (mod m) a  b(mod m).

Так как отношение сравнения является отношением эквивалентности на множестве целых чисел, то Z разбивается на классы эквивалентности, называемые вычетами: , где мы выписали все возможные остатки от деления целых чисел на m.

Обозначим через (m) – число всех натуральных чисел из множества {1,…,m-1}, взаимно простых с m. Функция (m) называется функцией Эйлера. Если - разложение в произведение простых, то

j(m)= … . (10)

Роль функции Эйлера в теории сравнений определяется следующей теоремой, доказанной Эйлером.

Теорема 2. Если (а,m)=1, то

a^(m) 1 (mod m). (11)

Покажем, как можно применить эту теорему для решения некоторых задач.

Пример 7. Найти две последние цифры в десятичной записи чисел 3⁷¹¹, 6⁴²⁷.

Решение.

1. Так как (3,100)=1, то по формуле (11) 3^(100)  1(mod 100). Вычислим (100) по формуле (10): 100=2²5², (100)=(2²-2) (5²-5)=40, т.е. 3⁴⁰ 1(mod 100). Имеем далее 3⁴(-19) (mod 100), 3⁸61(mod 100), 3¹⁰49(mod 100), 3²⁰1(mod 100), 3³⁰49(mod 100), 3³¹47(mod 100), 3⁷¹¹ 3⁶⁸⁰3³¹47 (mod 100), а это означает, что последние две цифры десятичной записи числа 3⁷¹¹ – это 4 и 7.

2. Так как (6,100)=2, то формулу (11) при рассмотрении числа 6⁴²⁷ применить нельзя. Мы применим более сложный алгоритм: 6⁴²⁷6⁴²⁵494k (mod 100). По свойству 6 сравнений 6⁴²⁵9k (mod 25). Теперь (6,25)=1, т.е. 6^(25) 1 (mod 25). Вычислим (25) по формуле (10): 25=5², (25)=5²-5=20. Итак, 6²⁰ 1 (mod25), 6⁴²⁰ 1 (mod 25); 6² 11 (mod25), 6³ 16 (mod25), 6⁵  1 (mod25), 6⁴²⁵ 1 (mod25), 6⁴²⁵ 9 9 (mod25). Следовательно, k=9, 4k=36, последние две цифры десятичной записи числа 6⁴²⁷ – это 3 и 6.

Пример 8. Решить сравнение первой степени 5х  3 (mod 17).

Решение. Дадим два способа решения этой задачи.

Способ 1. Так как 3  20 (mod 17), то 5х  20 (mod 17), по свойству 7 сравнений х  4 (mod 17), или .

Способ 2. По теореме 2 5^(17) 1 (mod 17), или 5¹⁶ 1 (mod 17), если х  35¹⁵ (mod 17), то 5х  3 (mod 17), далее действуем как в примере 7. Преимущество этого способа – четкий алгоритм вычислений, недостаток – громоздкость вычислений.

Понятно, что этот пример можно решить простым перебором .