Тема 2. Бинарные операции

Пусть Х – произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (б.а.о.) называется отображение

: Х+ХХ.

Часто для a,bX будем обозначать ( a,b)= ab.

Б.а.о.  называется ассоциативной, если для всех a,b,cX выполняется равенство (ab)c=a(bc).

Б.а.о.  называется коммутативной, если для всех a,bX будет ab= ba. Элемент еХ называется единичным для б.а.о., если для всех aX

еa= aе=а.

Элемент aX называется обратимым для б.а.о.  , если существуют еХ, bХ такой, что ab= ba=е.

Очевидно, что единичный элемент еХ – единственный.

Если еХ – еще один единичный элемент, то из (9) ее= е, ее=е, т.е. е= е.

Аналогично, если aX, b,bX такие, что ab=ba=е, ab= ba=е, и операция  ассоциативна, то (ba)b= еb=b, (ba)b= b(ab)=be=b, т.е. b=b. Поэтому корректно обозначение b=a^-1. Легко доказать, что b^-1=a, т.е. (а^-1)^-1=а.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 3. Пусть ХMat(n;R) – множество всех квадратных матриц порядка n, все элементы которых – вещественные числа; А,ВХ, АВ=АВ. Проверить, что задана б.а.о. Является ли эта операция ассоциативной, коммутативной? Имеется ли единичный элемент? Найти все обратимые элементы.

Решение. 1) Так как АВ – квадратная матрица порядка n, то мы имеем б.а.о., т.е. для всех А,ВХ будет АВХ.

2) Так как для всех матриц (АВ)С=А(ВС), то операция ассоциативна (а).

3) Так как в общем случае неверно АВ=ВА, то операция не является коммутативной ( ).

4) здесь е=Е – единичная матрица порядка n, так как для всех АХ будет АЕ=ЕА=А (е).

5) Обратимость в данном случае означает наличие А^-1. Хорошо известно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы det A0. Итак, все обратимые элементы в Х – это матрицы с ненулевым определителем.

Пример 4. Пусть Х=Z, для всех n,mZ определим nm=-n-m. Задание то же, что и в примере 3.

Решение. 1) Если n,mZ, то -n-mZ, т.е. имеем б.а.о.

2) Вычислим (12)3=(-3)3=3-3=0; 1(23)=1(-5)=-1+5=4, т.е. операция не ассоциативна ( ).

3) nm= mn =-n-m, т.е. операция коммутативна (к).

4) Если еn =n для всех nZ, то –е-n=n, e=-2n, но е не должен зависеть от n, т.е. единичный элемент отсутствует ( ).

5) обратимые элементы не существуют, т.к. отсутствует единичный элемент.

Пример 5. Пусть Х=С - множество всех комплексных чисел, z₁z₂=z₁z₂.Предлагается самостоятельно, используя тему 1, показать, что задана б.а.о., обладающая свойствами а,k,e, все z0 являются обратимыми, в точности как для R.

Тема 3. Группы

Определение 2. Группой называется множество G, на котором задана б.а.о.  такая, что выполнены следующие свойства, называемые аксиомами группы:

G1. Операция  ассоциативна.

G 2. Существует еG – единичный элемент.

G 3. Все элементы G обратимы.

Если операция  группы G коммутативна, то G – коммутативная (абелева) группа. Если НG, и подмножество Н само является группой, то Н называется подгруппой группы G. Назовем порядком элемента gG, ge, наименьшее натуральное число m такое, что g^m=e. Если такого числа нет, то g – элемент бесконечного порядка. Пусть g – элемент конечного порядка m, тогда H={e,g,…,g^m-1}- подгруппа группы G ( так называемая циклическая подгруппа).

Пример 6. Показать, что множество G=C\{0}, на котором введена операция  - умножения комплексных чисел, является абелевой группой (см. пример 5), а элемент , где m – натуральное число, имеет порядок m.

Одним из важнейших примеров групп является группа перестановок на множестве n элементов (симметрическая группа Sn). Роль этой группы определяется тем обстоятельством, что любая конечная группа порядка n (т.е. состоящая из n элементов) изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S_n (теорема Кэли).

Группа Sn состоит из n! перестановок

Б.а.о. на S_n – умножение перестановок, осуществляется по закону композиции. Например, пусть n=4,

Найдем . Имеем  (1)= ((1))= (4)=1, (2)= (3)=4, (3)=3, (4)=2, т.е.

Аналогично

Уже на этом примере видно, что , т.е. группа S_n - неабелева. Важнейшим из перестановок являются так называемые к – циклы (циклы длины к), переставляющие к элементов по кругу. Эти перестановки записываются в одну строку. Например, =(1234) – 4-цикл: 12341. Любую перестановку можно записать в виде произведения непересекающихся циклов. Например, =(14)(23); =(13)(2)(4) и т.д.

Алгоритм нахождения ^-1 покажем на примерах:

Легко показать, что порядок к –цикла равен к, а порядок произведения непересекающихся циклов равен НОК (наименьшему общему кратному) порядков этих циклов.

Отметим, что 2-цикл называют транспозицией. Очевидно, что 1 2 … )=(1 )(1 -1)…(12), а тогда любую перестановку можно записать в виде произведения транспозиций, возможно пересекающихся. Это представление не является единственным, но во всех таких представлениях количество транспозиций имеет одну и ту же честность. Все честные перестановки в S_n образуют подгруппу А_n порядка . В частности, изучение свойств подгруппы А₅ порядка 60, позволило Галуа доказать, что для алгебраического уравнения (6) при n=5 не существует общей формулы, выражающей корни этого уравнения через его коэффициенты. Свойства перестановок играют также важнейшую роль в доказательствах свойств определителей матриц.