3.6. Криволинейный интеграл первого рода
1.
,
где L
– график функции
от точки
до точки
.
2.
,
где L
– часть окружности
,
лежащая во второй четверти.
3.
,
где
.
4.
,
где L
– винтовая линия
,
,
,
.
5.
Найти массу материальной кривой L
с плотностью
,
если L
– дуга эллипса
,
где
.
6.
,
где L
– окружность
,
.
7. Найти массу четверти окружности , , расположенной в первом квадранте, если плотность равна ординате.
8.
,
где L
– граница треугольника с вершинами
,
и
.
9.
,
L
– часть кривой
.
10.
,
L
–часть спирали Архимеда
,
.
11.
,
L
– кардиоида
.
12.
,
где
– контур
с вершинами
,
,
.
13.
,
где
– окружность
.
14.
,
где
– арка циклоиды
,
,
причем
.
15.
,
где
– отрезок прямой, соединяющей точки
и
.
16.
,
где
– окружность
.
17.
,
где
– четверть эллипса
,
лежащая в первом октанте.
18.
,
где
– отрезок прямой, соединяющей точки
и
.
19.
,
где
– дуга кривой
,
,
,
.
20.
,
где
– первый виток винтовой линии
,
,
.
3.7. Криволинейные интегралы второго рода
1.
,
если
,
.
2.
,
если L
– дуга окружности
от
до
.
3.
Найти работу силы
по перемещению точки вдоль кривой
,
.
4. Вычислить
.
5.
вдоль прямой, соединяющей точки
и
.
6.
,
L
– часть кривой
от точки
до точки
.
7.
,
L
– первый виток линии
8.
,
L
– часть параболы
от
до
.
9.
,
L
– отрезок прямой от
до
.
10.
,
L:
четверть окружности
11.
вдоль параболы
от точки
до точки
.
12.
вдоль окружности
,
,
обходя ее против часовой стрелки.
13.
вдоль астроиды
,
,
обходя ее против часовой стрелки.
14.
вдоль параболы
от точки
до точки
.
15.
от точки
до точки
вдоль прямой, проходящей через эти
точки.
16.
,
где L
– окружность
.
17.
,
:
эллипс
.
18.
,
– отрезок прямой
от
до
.
19.
,
– дуга винтовой линии
,
,
при изменении t
от 0 до
.
20.
,
– дуга гипоциклоиды
,
.
21.
Вычислить
,
где L
– четверть окружности
,
от
до
.
22.
Вычислить
,
где L
– контур четырехугольника с вершинами
(указанными в порядке обхода) в точках
,
,
,
.
23.
Вычислить
вдоль отрезка, соединяющего точки
и
.
24.
Вычислить
от точки
до точки
по прямой
.
25. Вычислить
,
где OA
– четверть окружности
,
,
,
обходимая в направлении возрастания
параметра t.
ОТВЕТЫ
1.1. Исследование рядов с помощью теоремы сравнения
1, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 18, 20, 21, 24 - Сходится.
3, 5, 7, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 22, 23, 25 - Расходится.
1.2. Признак Даламбера
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22 - Сходится.
3, 6, 9, 11, 13, 16, 19, 21 - Расходится.
1.3. Радикальный признак Коши
1, 2, 4, 6, 8, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20,21 - Сходится.
3, 5, 7, 9, 10, 14, 18, 22 - Расходится.
1.4. Интегральный признак Коши
2, 3, 4, 6,8, 9, 12, 14, 15, 18, 21,22 - Сходится.
1, 5, 7, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20 - Расходится.
1.5. Абсолютная и условная сходимость
1, 2, 4, 9, 12, 15, 18, 21, 22, 26 - Сходится условно.
3, 5, 10, 11, 13, 16, 19, 24,25 - Сходится абсолютно.
6, 7, 8, 14, 17, 23 - Расходится.