Темы индивидуальных заданий
Базовый уровень.
Решение систем линейных алгебраических уравнений и
разложение
для матрицы коэффициентов.Нахождение обратной матрицы.
Решение матричных уравнений тремя способами.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду и специальные разложения матриц.
Подсчет числа способов по комбинаторным формулам.
Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
Проверка свойств бинарных отношений.
Повышенный уровень.
Решение систем методом наименьших квадратов.
Приведение базиса к ортонормированному базису и
разложение.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
Разложение Холецкого и его приложения.
Тематика контрольных работ. Контрольная работа № 1.
Базовый уровень.
Линейная комбинация матриц.
Умножение матриц.
Вычисление определителя по определению.
Вычисление определителей.
Нахождение ранга матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Исследование систем линейных уравнений.
Повышенный уровень.
Решение матричного уравнения
Нахождение обратной матрицы
Контрольная работа № 2.
Базовый уровень.
Угол между векторами.
Нахождение объема тетраэдра.
Уравнение прямой по двум точкам.
Уравнение плоскости по трем точкам.
Расстояние от точки до плоскости в пространстве.
Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.
Угол между плоскостями.
Повышенный уровень.
Расстояние между скрещивающими прямыми в пространстве.
Приведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду.
Примерные вопросы к экзамену.
Матрицы. Основные операции с матрицами: умножение матрицы на число, Сложение и умножение матриц.
Определители квадратных матриц. Перестановки и транспозиции. Теорема об изменении четности перестановки при транспозиции. Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Лемма о знаке члена определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Теорема о сумме произведения элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда.
Системы n линейных уравнений c n неизвестными. Правило Крамера.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись. Критерий совместности системы линейных уравнений.
Ранг матрицы. Теорема о неизменности ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Понятие о линейной зависимости. Теорема о ранге матрицы.
Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений и разложение матриц в произведение треугольных. LU-разложение и его применение для решения систем линейных уравнений.
Обратная матрица и ее приложения. Методы нахождения обратных матриц.
Однородные системы линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решения. Фундаментальная система решений.
Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Размерность и базис. Матрица перехода от "старого" базиса к "новому".
Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе линейного пространства. Действия над линейными операторами.
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Собственные числа и собственные векторы. Характеристический многочлен и его инвариантность относительно выбора базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Евклидово пространство. Скалярное произведение. Теорема Пифагора. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортогональный базис.
Метод наименьших квадратов для решения систем перенасыщенных систем. Система нормальных уравнений.
Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Метод Лагранжа. Закон инерции. Положительно определенные матрицы. Критерии положительной определенности.
Скалярные и векторные величины. Линейные действия над векторами. Скалярное произведение двух векторов и их приложения.
Уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между плоскостями.
Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой и приведение их к каноническому виду. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой в пространстве.
Эллипс, гипербола, парабола (определения и вывод их канонических уравнений).
Задачи к экзамену берутся из сборника Ревякин А.М., Терещенко А.М. Высшая алгебра для экономистов. Часть 5. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии. Сборник задач. М.: МГАДА, 2010.- 91 с.
Учебная дисциплина