- •Саратовский государственный технический университет расчет балки-стенки
- •Содержание
- •Введение
- •Цель работы
- •Задание на работу
- •Теоретическая часть
- •Представление нагрузок с помощью рядов фурье
- •Расчет балки-стенки при помощи рядов фурье
- •Расчет балки-стенки по технической теории изгиба
- •Расчет балки-стенки с заданной точностью при действии нагрузок произвольного вида
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий
- •Литература
Расчет балки-стенки с заданной точностью при действии нагрузок произвольного вида
В двух предыдущих разделах методических указаний рассмотрены примеры расчетов балок-стенок на действие конкретных гармонических составляющих в рядах раскладывания заданной нагрузки . Очевидно, что исходная нагрузка на балку-стенку произвольна и может иметь
достаточно сложный вид. С использованием формул (9), (10), (11), (12) данную нагрузку можно разложить или в ряд по синусам (9) , или в ряд по косинусам (10). Возможно разложение исходной нагрузки и в полный ряд (7).
Совершенно естественно возникает задача вычисления напряжений в балке-стенке от действия суммы гармонических составляющих нагрузки. Для этого необходимо организовать суммирование результатов по параметру с использованием, например, формул (18). Данная задача поддается элементарному программированию.
В качестве примера рассмотрим решение для балки-стенки, нагруженной по верхней поверхности равномерным нормальным давлением . Заметим, что используются формулы:
, (50)
причем величины совпадают с , приведенными в табл. 2.
Исследуем практическую сходимость решения по величинам напряжений при удержании различного числа членов в рядах (50). Для определенности взято соотношение L/h =3. Результаты приве-
дены в табл. 8. Напомним, что для симметричной относительно нагрузки коэффициенты при четных гармониках в рядах (9) обращаются в ноль.
Таблица 8
m |
Число членов ряда |
|
|
|
|
I I |
1
|
-0,7288 |
0,7176 |
1,807 |
-1,2732 |
3 |
2 |
-0,6796 |
0,6926 |
1,989 |
-0,8488 |
5 |
3 |
-0,7052 |
0,6955 |
2,040 |
-1,1035 |
7 |
4 |
-0,6870 |
0,6951 |
2,061 |
-0,9216 |
9 |
5 |
-0,7011 |
0,6952 |
2,071 |
-1,0631 |
11 |
6 |
-0,6897 |
0,6952 |
2,073 |
-0,9473 |
24
Данные табл. 8 свидетельствуют, что для получения точности в ±5% по величинам нормального напряжения и касательного напряжения необходимо удержание трех членов ряда. Кроме того, в силу неравенства точность в 5% по величине достигается также при m = 5 (трех членах ряда). Весьма важно и то, что величина достаточно быстро изменяется в окрестности точки x=L/2=3/2=1,5: при , , , ,
При использовании интегральной опенки сходимости решения по величине в диапазоне для достижения точности в ±5% вновь достаточно удержание 3 ненулевых членов ряда Фурье по синусам.
Таким образом, при действии равномерно распределенной по длине балки-стенки нормальной нагрузки требуемая инженерная точность расчетов, равная ±5%, достигается при удержании трех ненулевых членов в рядах (9) .
С ростом степени локализации нагрузки сходимость решения ухудшается. Например, для нагрузки , распределенной на отрезке , составляющем половину длины балки-стенки, для получения точности в 5% необходимо удержание в ряду (9) слагаемых до m=7 включительно (четыре члена ряда), а при нагрузке , распределенной на отрезке , составляющем четверть длины балки-стенки, данная точность обеспечивается лишь при m =11 (6 членов ряда).
Для всех рассмотренных видов распределения нагрузки выявлены также и пределы применимости решений по технической теории изгиба балок Навье.
Получено, что при действии равномерно распределенной нагрузки 5% точность решения достигается и при соотношении 3, при , равномерно распределенной на отрезке , аналогичная точность достигается уже при L/h =4, а при нагрузке интенсивности , действующей на четверти длины балки-стенки , инженерная точность в 5% реализуется лишь при L /h =5.
Таким образом, в данном разделе методических указаний установлено, что с постом степени локализации нагрузки понижается скорость сходимости решения задачи расчета балки-стенки по методу Фурье и сужается диапазон применимости решений по технической теории изгиба балок.
25