Расчет балки-стенки с заданной точностью при действии нагрузок произвольного вида

В двух предыдущих разделах методических указаний рассмот­рены примеры расчетов балок-стенок на действие конкретных гар­монических составляющих в рядах раскладывания заданной нагруз­ки . Очевидно, что исходная нагрузка на балку-стенку про­извольна и может иметь

достаточно сложный вид. С использовани­ем формул (9), (10), (11), (12) данную нагрузку можно раз­ложить или в ряд по синусам (9) , или в ряд по косинусам (10). Возможно разложение исходной нагрузки и в полный ряд (7).

Совершенно естественно возникает задача вычисления напряжений в балке-стенке от действия суммы гар­монических составляющих нагрузки. Для этого необходимо органи­зовать суммирование результатов по параметру с использованием, например, формул (18). Данная задача поддается элементарному программированию.

В качестве примера рассмотрим решение для балки-стенки, нагруженной по верхней поверхности равномерным нормальным давлени­ем . Заметим, что используются формулы:

, (50)

причем величины совпадают с , приведенными в табл. 2.

Исследуем практическую сходимость решения по величинам напряжений при удержании различного числа членов в ря­дах (50). Для определенности взято соотношение L/h =3. Результаты приве-

дены в табл. 8. Напомним, что для симметричной относительно нагрузки коэффициенты при четных гар­мониках в рядах (9) обращаются в ноль.

Таблица 8

m	Число членов ряда
I I	1	-0,7288	0,7176	1,807	-1,2732
3	2	-0,6796	0,6926	1,989	-0,8488
5	3	-0,7052	0,6955	2,040	-1,1035
7	4	-0,6870	0,6951	2,061	-0,9216
9	5	-0,7011	0,6952	2,071	-1,0631
11	6	-0,6897	0,6952	2,073	-0,9473

24

Данные табл. 8 свидетельствуют, что для получения точнос­ти в ±5% по величинам нормального напряжения и касательного напряжения необходимо удержа­ние трех членов ряда. Кроме того, в силу неравенства точность в 5% по величине достигается также при m = 5 (трех членах ряда). Весьма важно и то, что величина достаточно быстро изменяется в окрестнос­ти точки x=L/2=3/2=1,5: при , , , ,

При использовании интегральной опенки сходимости решения по величине в диапазоне для достижения точности в ±5% вновь достаточно удержание 3 ненулевых членов ряда Фурье по синусам.

Таким образом, при действии равномерно распределенной по длине балки-стенки нормальной нагруз­ки требуемая инженерная точность расчетов, равная ±5%, достигается при удержании трех ненулевых членов в рядах (9) .

С ростом степени локализации нагрузки сходимость решения ухудшается. Например, для нагрузки , распределенной на отрезке , составляющем половину длины балки-стенки, для получения точности в 5% необ­ходимо удержание в ряду (9) слагаемых до m=7 включительно (четыре члена ряда), а при нагрузке , распределенной на отрезке , составляющем четверть длины балки-стенки, данная точность обеспечивается лишь при m =11 (6 членов ряда).

Для всех рассмотренных видов распределения нагрузки выявлены также и пределы применимости решений по технической теории изгиба балок Навье.

Получено, что при действии равномерно распределенной нагрузки 5% точность решения достигается и при соотношении 3, при , равномерно распределенной на отрезке , аналогичная точность достигается уже при L/h =4, а при нагрузке интенсивности , действующей на четверти длины балки-стенки , инженерная точность в 5% реализуется лишь при L /h =5.

Таким образом, в данном разделе методических указаний установ­лено, что с постом степени локализации нагрузки по­нижается скорость сходимости решения задачи расчета балки-стенки по методу Фурье и сужается диапазон применимости реше­ний по технической теории изгиба балок.

25