Цель работы

Объектом исследования является метод расчета балок-стенок с использованием одинарных тригонометрических рядов.

В процессе выполнения работы:

• изучается методика представления исходной нагрузки в виде разложений в одинарные тригонометрические ряды;

• изучается методика решения однородных дифференциальных уравнений в частных производных по методу Фурье;

- изучается методика определения из граничных условий коэффициен-

тов решений обыкновенных дифференциальных уравнений;

- изучается точность приближенного решения задачи по техничес­кой

теории изгиба балок Навье;

- изучается вопросы получения решения задачи с заданной точ­ностью при действии нагрузок произвольного вида.

3

Задание на работу

Для балки-стенки с заданными нагрузками

и заданным соотношением h/L (рис. 1) требуется:

Рис. 1

1. Представить нагрузки в виде одинарных тригонометрических рядов с удержанием указанного количества слагаемых.

2. Решить бигармоническое уравнение для конкретного члена ряда разложения функции напряжений, соответствующего указанному в задании члену ряда для .

3. Найти произвольные коэффициенты функции из краевых условий на верхней и нижней поверхностях балки-стенки.

4. Построить в заданных сечениях балки-стенки эпюры напряжений .

5. Решить аналогичную задачу на основе технической теории изгиба балок и сопоставить точное и приближенное решения.

Теоретическая часть

Уравнения для плоской задачи теории упругости получаются из уравнений для объемной задачи [1, 2] путем исключения из них производных по координате Z. Если решать плоскую задачу в напряжениях , то получается разрешающая система из трех уравнений:

1) урав­нения равновесия в проекции на ось ОХ;

2) уравнения равнове­сия в проекции на ось ОУ,

3) уравнения неразрывности деформа­ций, записанного через напряжения и имеющего вид:

, (1)

где - гармонический оператор Лапласа:

. (2)

4

В систему разрешающих уравнений не входят константы упру­гости E и µ, то есть напряжения в соответствии с теоремой Леви не зависят от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала.

Решение задачи в напряжениях можно существенно упростить путем перехода к функции напряжений Эри , связанной с напряжениями формулами:

, (3)

где X, У - объемные силы, х, у - декартовы координаты. При этом уравнения равновесия обращаются в тождества, а уравнение неразрывности деформаций принимает вид:

. (4)

Уравнение (4) называется бигармоническим уравнением для плос­кой задачи теории упругости. Следует помнить, что при отсутствии объемных сил выражение для касательного напряжения будет:

. (5)

Уравнение (4) является однородным дифференциальным уравне­нием четвертого порядка в частных производных. В связи с этим для решения конкретной задачи в каждой точке границы (контура) балки-стенки необходимо задать по два краевых условия:

,

(n - направление нормали к контуру), выражающие равенства на контуре внутренних напряжений и внешних нагрузок.

Из этого следует, что величины как нормальных , так и касательных компонентов внешних нагрузок должны быть известны во всех точках контура балки-стенки, рис. 1.

В практике проектирования балок-стенок данные нагрузки имеют самый разнообразный характер, что определяется как спо­собами нагружения балок-стенок, так и взаимодействием их с соседними частями конструкции. Зачастую данные нагрузки носят явно выраженный локальный характер, что вызывает определенные трудности расчетного характера при использовании метода ко­нечных разностей и метода конечных элементов.

Переходим поэтому к изложению апробированной методики получения решения задачи изгиба балки-стенки, основанной на использовании рядов Фурье. При этом функция Эри φ(х,y) представляется в виде:

(6)

5

то есть является суммой составляющих, гармонически меняю­щихся по горизонтальной оси х.

С ростом m в (6) ре­шение задачи уточняется, что в итоге позволяет достичь требуемой инженер­ной точности в ±5% по величинам .

При этом нагрузки также необ­ходимо представить в виде рядов Фурье, например, полного ряда:

(7)

Именно данное представление нагрузок вместе с использова­нием формулы (6) позволяет понизить размерность задачи (с двумерной до одномерной) и перейти к решению обыкновенных одно­родных дифференциальных уравнений четвертого порядка.

Ввиду важности вопросов использования представлений типа (7) рассмотрим подробно первый этап решения задачи при помощи рядов Фурье - представление исходной нагрузки гармоническим рядом.